Программа дисциплины дифференцируемые многообразия и риманова геометрия Цикл дс

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

"УТВЕРЖДАЮ"

Проректор

__________ В.С.Бухмин

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Дифференцируемые многообразия и риманова геометрия

Цикл ДС

Направление: 510400 - Физика

Специализация: 0 10457 – Гравитация и теория относительности

Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации

(протокол № 6 от "5" июня 2009 г.)

Заведующий кафедрой
________________ (А.В. Аминова)

Утверждена Учебно-методической комиссией физического факультета КГУ.

(протокол №___ от "__"__________200__ г.)
Председатель комиссии
____________________ (Д.А. Таюрский)

Рабочая программа дисциплины "Дифференцируемые многообразия и риманова геометрия" предназначена для студентов 3 курса

по направлению: 510400 – Физика

Специализация: 010457 – Гравитация и теория относительности

АВТОР: Егоров А.И.

КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ: В данном курсе лекций излагаются основы общей топологии, теории дифференцируемых (гладких) многообразий, тензорного анализа и римановой геометрии, необходимого для освоения математического аппаратов специальной и общей теории относительности, теории спиноров, квантовой теории поля.

1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Дифференцируемые многообразия и риманова геометрия"

Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны:

знать основные идеи и методы общей топологии и теории гладких многообразий, позволяющими освоить риманову геометрию, лежащую в основе общей теории относительности;
уметь производить расчеты с помощью методов тензорного анализа.

2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)

Форма обучения очная

Количество семестров 1

Форма контроля: 5 семестр экзамен

№ п/п	Виды учебных занятий	Количество часов
		5 семестр
1.	Всего часов по дисциплине	140
2.	Самостоятельная работа	50
3.	Аудиторных занятий	90
	в том числе: лекций	54
	семинарских (или лабораторно-практических) занятий	36

Содержание дисциплины.

ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ

Индекс	Наименование дисциплины и ее основные разделы	Всего часов
ДС.6		140

Примечание: Если дисциплина, устанавливается вузом самостоятельно, то в данной таблице ставится прочерк.

3.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

№ п/п		Название темы и ее содержание	Количество часов
			лекции		(лаб.-практ.) занятия
1		Основы общей топологии. Множества и операции над ними. Эквивалентность множеств. Топологические пространства. Аксиомы отделимости. Компактные топологические пространства. База топологического пространства. Связность и линейная связность. Непрерывные отображения топологических пространств. Фактор топология. Топологическая сумма и топологическое произведение топологических пространств. Метрические пространства. Полнота и пополнение топологических пространств.	10		4
2		Основы теории гладких многообразий. Карты, атласы, гладкая структура. Многообразия Штиффеля, Грассмана, комплексно - аналитические. Топология и компактность на гладких многообразиях. Ориентируемость многообразий. Гладкие функции и гладкое разбиение единицы на многообразиях. Гладкое отображение гладких многообразий. Локальное изучение (иммерсия, вложение, субмерсия). Подмногообразия гладких многообразий. Касательный вектор. Касательное расслоение. Векторное поле на гладком многообразии.	10		4
3		Тензорная алгебра. Тензор и тензорный закон, действия над тензорами. Внешние формы и внешнее произведение. Ранговое пространство тензора. Соотношения Плюккера. Билинейные формы. Конгруэнтность и эквивалентность форм. Линейные операторы. Форма Жордана. Теорема Гамильтона - Кэли. Многочленные матрицы. Каоническая диагональная форма. Элементарные делители. Характеристика Сегрэ. Условие конгруэнтности пар форм. Классификация А.З. Петрова пар форм над вещественным полем. Случай n=4.	6		4
4		Риманово пространство и поля Киллинга. Риманово пространство. Тензорные поля и их преобразование при отображениях римановых пространств. Однопараметрические группы диффеоморфизмов. Производная Ли. Векторное поле Киллинга. Алгебра Ли векторных полей Киллинга. Классификация Бьянки.	6		6
5		Связность и кривизна. Связность и ковариантное дифференцирование тензорных полей. Риманова связность. Тензоры кривизны, Риччи. Скалярная кривизна. Параллельные перенос и геодезические линии.	6		6
6		Интегрируемость уравнений Киллинга. Локальная интегрируемость систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, разрешенных относительно производных. Условия интегрируемости уравнений Киллинга. Кривизна риманова пространства в точке. Пространства постоянной кривизны. Интегрирование уравнений Киллинга для V₂.	8		6
7		Ортогональные реперы, отображения и подпространства. Ортогональные реперы. Специальные системы координат в V_n. Конформное геодезическое отображение римановых пространств. Общая классификация полей тяготения по А.З. Петрову. Формулы Френе - Серре для V₄ . Элементы теории поверхностей и геометрия римановых подпространств.	8		6

	Итого часов:		54	36

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. "Наука", 1972.
Кэлли Д.Л. Общая топология. М. "Наука", 1968.
Постников М.М. Гладкие многообразия. М. "Наука", 1979.
Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М. ГИИТЛ, 1948.
Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М. "Наука", 1969.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Бурбаки Н. Общая топология. М. "Наука", 1968.

2. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М. “Наука”, 1984.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М. “Наука”, 1984.

Приложение к программе дисциплины

“Дифференцируемые многообразия и риманова геометрия”.

БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ
Билет 1.

1. Топологическое пространство.

2. Производная Ли.
Билет 2.

1. База топологического пространства.

2. Связность и ковариантное дифференцирование.
Билет 3.

1. Фактортопология.

2. Параллельный перенос и геодезические.
Билет 4.

1. Связность и линейная связность топологических пространств.

2. Локальная интегрируемость уравнений Киллинга.
Билет 5.

1. Аксиомы отделимости.

2. Пространства постоянной кривизны.
Билет 6.

1. Метрические пространства. Полнота и пополнение.

2. Тензоры кривизны, Риччи, скалярная кривизна риманова пространства.
Билет 7.

1. Гладкая структура.

2. Ортогональные реперы.
Билет 8.

1. Ориентируемость гладких многообразий.

2. Специальные системы координат в римановых пространствах.
Билет 9.

1. Гладкое разбиение единицы.

2. Конформное отображение римановых пространств.
Билет 10.

1. Гладкое отображение гладких многообразий.

2. Геодезическое отображение римановых пространств.
Билет 11.

1. Иммерсия, вложение, субмерсия.

2. Классификация полей тяготения по А.З. Петрову.
Билет 12.

1. Подмногообразия гладких многообразий.

2. Формулы Френе - Серре.
Билет 13.

1. Касательный вектор, векторные поля.

2. Поверхности в трехмерном пространстве.

Билет 14.

1. Тензоры и действия над ними.

2. Геометрия подпространств V_n_-1.
Билет 15.

1. Ранговое пространство тензора.

2. Параллельный перенос и геодезические.
Билет 16.

1. Линейные операторы. Форма Жордана.

2. Условия интегрируемости уравнений Киллинга.
Билет 17.

1. Многочленные матрицы. Каноническая диагональная форма.

2. Ортогональные реперы.
Билет 18.

1. Условие конгруэнтности пар форм и теорема Петрова.

2. Производная Ли.
Билет 19.

1. Теорема Гамильтона - Кэли для линейных операторов.

2. Тензоры кривизны, Риччи, скалярная кривизна риманова пространства.
Билет 20.

1. Характеристика Сегрэ линейного оператора.

2. Связность и ковариантное дифференцирование.