Программа элективного курса по математике, 9 класс «Решение задач по планиметрии»

Зарипова Рамзия Мухаметовна (e-mail: [email protected])
Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 3 имени Тази Гиззата г. Агрыз Агрызского муниципального района Республики Татарстан
Программа элективного курса по математике, 9 класс
«Решение задач по планиметрии»
Пояснительная записка
Общеизвестно, что геометрическая линия является одной из центральных тем курса математики. Она предполагает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовку аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин (физики, черчения и т.д.) и курса стереометрии.

С другой стороны, необходимость усиления геометрической линии обуславливается следующей проблемой: задание частей В и С единого государственного экзамена предполагает решение геометрических задач. Как и в предыдущие годы, участники экзамена 2009 года в целом показали невысокие результаты при решении геометрических задач базового и повышенного уровней сложности. Многие экзаменуемые вообще не приступали к решению геометрических задач не только повышенного уровня, но и базового.

Для успешного выполнения этих заданий необходимы прочные знания основных геометрических фактов и опыт в решении геометрических задач.
Цели курса:

1.Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

2.Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.
Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи :

Приобщить учащихся к работе с математической литературой.
Способствовать осмыслению логических приёмов мышления, развитию образного и ассоциативного мышления.

Данный курс рассчитан на 17 часов, предполагает систематизацию и обобщающее повторение ключевых тем курса планиметрии: решение треугольников, вычисление площадей фигур, вписанные и описанные окружности, применение тригонометрии и т.д.

Учащиеся должны знать:

1.Ключевые теоремы, формулы курса планиметрии в разделе «Треугольники», «Четырёхугольники», «Площади», «Вписанные и описанные окружности».

2.Основные алгоритмы решения задач.

Учащиеся должны уметь:

Применять имеющиеся теоретические знания при решении задач.

Материал, представленный в курсе, является мобильным, может меняться в зависимости от потребностей учащихся и применяться для различных категорий учащихся, что достигается обобщенностью включённых в него заданий, их отбором в соответствии с задачами предпрофильной подготовки и подготовки к ЕГЭ.

В программе приводится примерное распределение учебного времени. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного решения (или домашнего) решения. Основные формы организации учебных занятий: беседа, практикум. Формы контроля: зачёт.

Содержание программы

Тема 1. «Решение треугольников» предполагает прохождение тем: «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», «Теорема Пифагора», «Теорема синусов и косинусов», «Основные тригонометрические тождества». Метод обучения: беседа, объяснение, практикум. Форма контроля: проверка самостоятельно решённых задач.

Тема 2. «Четырёхугольники». Решение задач по теме: «Параллелограмм и трапеция». Метод обучения: беседа, практикум. Форма контроля: проверка самостоятельно решённых задач.

Тема 3. «Решение задач по теме «Площади». Вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции; применение разнообразных формул площади треугольника, площади подобных фигур. Метод обучения: беседа, практикум. Форма контроля: проверка самостоятельно решённых задач.

Тема 4. «Площади многоугольников», учебно-деловая игра «Строитель». Форма контроля: зачёт. (Разработка урока с компьютерной презентацией прилагается).

Тема 5. «Решение задач по теме «Вписанные и описанные окружности».

Окружности, вписанные и описанные около треугольника, четырёхугольника, применение формул: r = 2S/(а+b+с); R=abc/4S; a/sinα =2R. Методы обучения: практикум.

Тема 6. «Площадь вписанных и описанных многоугольников». Решение задач на применение формул площади треугольника и четырёхугольников, вписанных и описанных около окружности. Методы обучения: беседа, практикум.

Тема 7. «Решение задач по всей программе». Форма контроля: зачёт.
Учебно-тематический план

№

Тема

Всего часов

Форма обучения

Форма

контроля

1

Решение треугольников

3

Беседа, практикум

2

Четырёхугольники

3

Беседа, практикум

3

Решение задач по теме «Площади»

3

Беседа,
практикум

4

Площади многоугольников

1

Учебно-деловая игра «Строитель»

зачёт

5

Вписанные и описанные окружности

3

Практикум

6

Площади вписанных и описанных многоугольников

3

Беседа,
практикум

7

Решение задач по всей программе

1

Работа в группах

Зачёт

Методические рекомендации для учителя
В основе решения задач лежит умение «решать треугольник», поэтому необходимо вспомнить важные соотношения для треугольников. Для этого можно начертить таблицу, проводя соответствующие комментарии. Перед темой «Площади» следует повторить всевозможные формулы нахождения площади треугольника, четырёхугольника, правильного шестиугольника. Зафиксировать эти сведения можно в виде таблицы.

Повторить основные теоретические сведения, основные приёмы решения задач можно и с помощью электронных учебных пособий: «Математика, 5-11 кл. Практикум», «Открытая математика 1.0. Планиметрия», и др.

Важным при решении геометрических задач является верно выполненный чертёж, надо обратить особое внимание умению «рисовать» задачу.

Считаю полезным ознакомить учащихся с так называемыми опорными задачами. В них либо формулируется некий полезный факт, который может быть использован при решении различных задач, развивает теорию, либо иллюстрируется важный метод. В прилагаемом списке задач выделена относительно небольшая группа так называемых опорных задач:

1. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

2. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма, равна сумме квадратов всех его сторон.

3. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.

4. Площадь описанного многоугольника равна pr, где p –его полупериметр, а r - радиус вписанной окружности.

5. Пусть а и b - катеты, а с – гипотенуза прямоугольного треугольника. Тогда диаметр окружности, вписанной в этот треугольник равен а +b-c.

6. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности в 2 раза меньше радиуса описанной окружности.

7. Если диагонали трапеции перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты.

8. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

9. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее площадь равна половине квадрата ее диагонали.

10. Медиана треугольника делит его на два равновеликих.

11. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

12. Центр окружности, вписанной в треугольник , лежит на пересечении биссектрис треугольника.

13. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

14. Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон четырехугольника равны. Верно и обратно утверждение.

15. Если около четырехугольника описана окружность, то суммы противоположных углов четырехугольника равны 180⁰.

16. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

17. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
Занятия 1-3. Решение треугольников.

Повторение и систематизация теоретических сведений по теме. Наиболее эффективным будет совместное вычерчивание чертежей к задачам. На занятиях решить задачи №№ 1,3,5,7; №2,4 – для самостоятельной работы дома; в качестве «зачётной» задачи - №6.

Занятия 4 – 6. Четырёхугольники. Повторение теории, опорных задач.

Решение задач № 1 – 4,7; для домашней работы № 5,6.

Занятия 7 – 9. Решение задач по теме «Площади». Составить и заполнить таблицу « Площади». На занятиях разобрать задачи № 1,2,4 -6; для самостоятельной домашней работы № 3.

Занятие 10. Площади многоугольников, учебно-деловая игра «Строитель»; проверка знаний.

Занятие 11 – 13. Вписанные и описанные окружности. Разбор задач № 1,3 – 6; для самостоятельной домашней работы №2,7.

Занятия 14 – 16. Площади вписанных и описанных многоугольников. Разбор задач № 1-4,6,7,9; для самостоятельной домашней работы №5,8.

Занятие 17. Решение задач по всей программе. Зачёт.

Для зачётной работы предлагается задача № 6 (по теме «Решение треугольников»), № 6 (по теме Четырёхугольники»), №7 (по теме «Вписанные и описанные окружности»), №8 (по теме «Площади вписанных и описанных многоугольников»). Задания даются заранее, а на зачётной работе провести «круглый стол» по обсуждению решения задач по группам.

Тема: РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Прямоугольный треугольник

Косоугольный треугольник

A

b c

C a B

B

c a

A C

α+β=90°;
с²=а²+b² – теорема Пифагора
а=с*соsβ,

а=с*sinα,

а=b*tgα;

R=1/2c$
r=(a+b-c)/2

α+β+γ=180°;
а²=b²+c²-2bccosα – теорема косинусов;

соsα=(b²+c²-a²)/2;

а/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2R –теорема синусов;
R=abc/4S∆;
r=2SΔ/P

Задачи

1) В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=6, соsА=3/5. Найдите высоту АН.

С Дано: ΔАВС,

Н АВ=ВС,АВ=6, соsА=3/5

АН - высота

Найти: АН

А В Решение:

рис.1

Пусть АС = СВ = х. тогда по теореме косинусов ВС²=АС²+АВ² – 2*АС*АВ*соsА, х²=х²+36 – 2*6*х*3/5, 36/5*х=36, х=5.

Площадь треугольника S_∆=1/2а*b*sin γ, sin A=√1 –соs²А, sinА=√1 – 9/25=4/5, S_Δ=1/2*6*5*4/5=12. Но S_Δ=1/2*ВС*АН, 12=5*АН/2, АН=4,8.

Ответ: 4,8.

2) В треугольнике АВС угол С равен 90°, соs А=4/5, АС=4. Найдите высоту CН.

Н Дано: ∆АВС, <С=90°,

соs А=4/5, АС=4,

Н СН – высота.

Найти: СН.

А рис.2 С

Решение:

Из треугольника АНС соs А=АН/АС, 4/5=АН/4, АН=16/5.

По теореме Пифагора СН=√АС² – АН², СН= √16 – (16/5)²=12/5=2,4.

Ответ: 2,4.

3) Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 2√22 см, а катет ВС равен 6 см. Найдите длину медианы ВК.

А Дано: ∆ АВС, <С=90°,

2√22 АВ=2√22 см, ВС=6 см,

К ВК – медиана.

Найти: ВК.

С 6 В

рис.3

Решение:

Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора АС=√АВ²– ВС².

АС=√(2√22)² - 6²=√4*22 – 36=√52=2√13 (см).

ВК – медиана треугольника АВС, значит СК=1/2АС=√13(см).

В треугольнике ВСК по теореме ПифагораВК²=КС²+ВС², ВК=√6²+(√13)²=√49=7 (см).

Ответ: 7.

4) Определите катеты прямоугольного треугольника, у которого перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, больше одного из отрезков гипотенузы на 3 и меньше другого на 4.
А Дано: ∆ АВС, <С=90°,СД – высота,

Д СД >АД на 3, СД<ВД на 4.

Найти: АС и СВ.

С рис.4 В

Решение: Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу, т.е. СД²=АД*ДВ. Пусть СД = х, тогда АД = х – 3, ВД = х + 4. х²=(х – 3)*(х + 4), х²=х² + х – 12, х = 12.

В ∆ АДС по теореме Пифагора АС²= АД²+ ДС², АС = √12² + 9² = √225 = 15.

В ∆ ВСД аналогично ВС = √16² + 12² =√400 =20.

Ответ: АС = 15, ВС = 20.

5) В прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 10 см и 15 см, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найти периметр квадрата.

А Дано: ∆ АВС, <С = 90°,

АС = 10 см, ВС = 15 см,

М N МNСР – квадрат.

Найти: периметр квадрата.

В рис.5 Р С

Решение: ∆ АВС – прямоугольный, МNСР – квадрат, значит, МN II ВС. Тогда ∆АВС ~ ∆АМN, АС/АN = ВС/МN; пусть сторона квадрата МN = х, тогда АN = 10 – х.

10/(10 – х) = 15/х; 25х = 150, х = 6.

Итак, сторона квадрата 6 см; периметр 6*4 = 24 (см).

Ответ: 24 см.

6) На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) как на диаметре построена окружность, пересекающая основание этого треугольника в точке D. Найдите расстояние от вершины А до центра построенной окружности, если АD = √21, а угол АВС = 120°.

В Дано: ∆ АВС, АВ = ВС,

О – центр окружности,

О АD = √21, <АВС = 120°.

А D С Найти: АО

рис.6

Решение:

Так как О – центр данной окружности, то ВО = ОС = ОD. Тогда ∆ DВС прямоугольный с прямым углом D, а ВD – высота в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, D -середина АС, DО = 1/2АВ.

В прямоугольном ∆ АВD АВ = АD/соs <А; АВ = √21/соs30° = √21/√3/2 = 2√7.

∆ DBO – равнобедренный с острым углом 60°, а значит и равносторонний, <ВDО = 60°, тогда <АDО = 90° + 60° = 150°.

В ∆ DАО по теореме косинусов АО² = АD²+DО² – 2АD*DО*соs<АDО, АО² = =(√21)² + (√7)² – 2*√21*√7*соs150° = 21 + 7 + 2√21*√7*соs30° = 28 + 2*7√3*√3/2 =

=28 + 21 = 49; АО = 7.

Ответ: 7.
7) Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Через центр О вписанной в треугольник окружности проведён луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Известно, что АМ = 8√3, < А= < МВС. Найдите гипотенузу.
При решении задачи используются следующие факты : 1) центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис, поэтому угол В в 2 раза больше угла А, т.е. угол В равен 60°, а угол А равен 30°. Отсюда следует, что гипотенуза АВ = 2 ВС. 2) используется свойство биссектрисы угла, МС/МА = ВС/АВ, откуда СМ = 4√3.

АС = 8√3 +4√3 = 12√3, АВ = АС/cos 30° = 12√3: √3/2 = 24.

Ответ: 24.
Тема: ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ
Задачи

В четырёхугольнике АВСD серединные перпендикуляры к сторонам АВ и СD пересекаются в точке К – середине стороны АD. Найти длину СD, если АD = 20, <АВС = 120°.

В С Дано: АВСD – четырёхугольник,

АК = КD, АN =NВ, СМ = МD,

N M КN АВ, КМ СD,

АD = 20, < АВС = 120°.

Найти: СD.

А К D

рис.7

Решение:

К – середина АD, NК и МК – серединные перпендикуляры, отсюда следует, что они являются медианой и высотой в треугольниках АКВ и КСD – равнобедренные, т. е. АК = КD =CK = BK = R (радиус описанной окружности). Тогда АD диаметр окружности, угол АВD = 90°, как угол опирающийся на диаметр, угол СВD = 30°, <САD = <СВD =30° как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, тогда угол АDC в треугольнике АСD равен 60°. Следовательно, ∆ КСD – равносторонний, т.е. КD = CD =10.

Ответ: 10.

Сторона АВ параллелограмма АВСD равна 2√22, а его диагонали равны 20 и 24. Найдите сторону ВС.

Решение: В параллелограмме d₁²+d₂²= 2(a²+ b²); 20² + 24² = 2((2√22)² + b²), b>0; b² + 88 = 488, b² = 400, b=20.

Ответ: 20

В параллелограмме АВСD со стороной АD = 20 проведена биссектриса АР. Найдите периметр получившейся трапеции АРСD, если известно, что её средняя линия равна 11, а диагональ РD = 8√5.

В Р С Дано: АВСD – параллелограмм,

АD = 20, АР – биссектриса,

РD = 8√5,

Найти: периметр трапеции АРСD.

А рис.8 D

Решение:

Средняя линия трапеции АРСD равна 11, тогда 11 = (АD + РС)/2, АD + РС = 22,

РС = 2. ВР = 20 - 2 = 18, а так как АР – биссектриса, то АВ = ВР = 18, АВ = СD =18.

Так как РD² + РС² = СD², (8√5)² + 2² = 18², 320 + 4 = 324, то ∆ РСD – прямоугольный, тогда и ∆ АРD – прямоугольный, значит АР² = АD² + РD²,

АР² = 400+320 = 720, АР = 12√5. Периметр трапеции АРСD равен 12√5 + 2 + 18 + 20 = =12√5 + 40.

Ответ: 12√5 + 40.

Основания трапеции равны 4 и 10, а её боковые стороны - 3√13 и 15. Найдите косинус наименьшего угла этой трапеции.

В 4 С
15

3√13

А D

10 M

рис.9

Решение:

Проведем ВМ II СD, ВСDМ – параллелограмм, тогда <СDM =<ВМА,

следовательно ВС =МD = 4, ВМ =СD = 15, АМ = 10-4=6.

В треугольнике АМВ против большей стороны лежит больший угол: АВ < ВМ,

значит, <ВМА< А. соs <ВМА = (ВМ² +АМ² – АВ²)/2ВМ*АМ.

Соs <ВМА = (6² + 15² – (3√13)²)/2*6*15 = (36 + 225 – 117)/12*15 = 12/15=4/5=0,8.

Ответ: 0,8.

Средняя линия трапеции АВСD равна 15. АD – большее основание трапеции, угол А=90°, угол D =60°, угол ВАС = 30°. Найдите длину стороны СD. (Ответ: 20)

Определите периметр равнобокой трапеции, у которой длина меньшего основания равна 7, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам и равны 6√2. (Ответ: 22)

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна √13, а основания равны 3 и 4. Найдите диагональ трапеции.

При решении задач на вычисление элементов равнобедренной трапеции желательно знать, что высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме (т.е. равен средней линии трапеции). (Ответ: 5)
Тема: ПЛОЩАДИ

Треугольники

Четырёхугольники

Правильные

многоугольники

В а D С

S = 1/2аh

S =1/2аbsinα

S = √p(p-a)(p-b)(p-c) –формула Герона

S =abc/4R

S = 1/2Pr

S =1/2ab-прямоугольный ∆

S = a²√3/4- правильный ∆

S = 1/2d_1*d₂sinα

B C

A D

S = ah

S = absinα

S = 1/2d_1*d₂ – для ромба

S = 1/2Pr

S_∆ = a²√3/4

S ₆= a²3√3/2

Задачи

В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь ∆ АВС, если

АС = 3√2, ВС = =10, <МАС = 45°.

А
3√2 Решение:

Медиана АМ разбивает треугольник АВС на два

равновеликих треугольника, т.е.

S(_∆ABC) = 2S(_∆ACM).

С М В Из ∆ АСМ по теореме косинусов

рис.10 СМ² = АС² + АМ² – 2АС_*АМсоs

5² = (3√2)² + х²– 2_*3√2_*х соs45°, где АМ = х(х>0).

25 = 18 + х² – 6х; х² – 6х – 7 = 0, х₁=7, х₂ = - 1, т.е. АМ=7;

S(_∆ACM) = 1/2AC*AM sin

Тогда площадь ∆ АВС = 2*10,5 = 21.

Ответ: 21.

В равнобедренном треугольнике MNQ с основанием МQ высоты МА и NB пересекаются в точке С, причём МС = 15, АС = 12. Найдите площадь ∆ МNС.

N Решение:

∆ МСВ и ∆МQA подобны по первому признаку

подобия треугольников, МС/МQ = МВ/МА,

15/МQ = 1/2МQ/27, 1/2МQ² = 15*27, MQ² = 30*27,

MQ = 9√10. S_∆_MNQ⁼1/2MQ*NB = 1/2NQ*MA, отсюда

А MQ*NB = NQ*MA, 9√10*h = b*27, где h = NB,b=NQ.

С по теореме Пифагора h= √b² - (9√0/2)² = √b² – 810/4.

Тогда 9√10*√b² – 810/4 = 27b, 10(b² – 810/4)=9b²,

M Q b² =8100/4, b = 45. Итак, S_∆_MNC = ½*45*12 = 270.

рис.11 Ответ: 270.

Точка Н лежит на стороне АО треугольника АОМ. Известно, что АН=4, ОН=12,

Решение: ∆ АМН ~∆ АОМ по первому признаку

Н подобия треугольников, АН : АМ = АМ : АО

12 АМ² = АН*АО, АМ² = 4*16, АМ = 8

S_∆_АНМ = 1/2АН*АМ sin

О рис.12 М Ответ: 16.

Основание АВ трапеции АВСД вдвое длиннее основания СД и вдвое длиннее боковой стороны АД. Длина диагонали АС равна 12, длина боковой стороны ВС равна 5. Найдите площадь трапеции.

D С

Решение:

По условию 2АД=2ДС.

12 5 M – середина АВ, тогда АМ = МВ = СМ,

т.е. СМ – медиана ∆ АВС и СМ = 1/2АВ, значит

треугольник АВС – прямоугольный с

А М К В гипотенузой АВ.

Рис.13 По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС²;

АВ = √12²+ 5² = 13. СМ = МВ = 13/2=6,5. СК – высота трапеции и ∆ МСВ,

h_a = 2S_∆/a. По формуле Герона S_∆ = √p(p-a)(p-b)(p-c), где

p =(a+b+c)/2, p=(6,5+6,5+5)/2=18/2=9. S_∆_MBC= √9(9-5)(9-6,5)(9-6,5) = =√9*4*2,5*2,5=3*2*2,5=15. Тогда СК =2*15/6,5=60/13; Итак, площадь трапеции АВСД S = (ДС+АВ)*СК/2= =(6,5+13)/2*60/13= 19,5*6/2*13=4,5.

Ответ: 4,5.

В треугольнике АВC проведена биссектриса ВК, длина которой равна 4, причём КС = 2√2, < ВСА= 45°. Найдите площадь ∆ АВК.

В Решение: Из ∆ ВКС по теореме синусов

КC/sin

sinα = (2√2*√2/2)/4 = 1/2; α=30°. Значит, <В =60°,

-(<А - < АВК) = 180° - (75° + 30°) = 75°. Тогда ∆ АВК

равнобедренный с основанием АК. АВ = ВК= 4.

А С S_∆ABK= 1/2AB*BK*sin

К Ответ: 4.

рис.14

В треугольнике АВС на стороне АВ = 9 выбрана точка D таким образом, что АD = 2. Найдите площадь треугольника АВС, если угол ВАС = 45° и < АСD = <АВС.

Решение:

ВАС ~∆ САD ( по двум углам), АВ : АС = АС : АD,

9/АС = АС/2, АС = 3√2.

S_∆АВС= 1/2АС*АВ*sin45°,

S_∆АВС= ½*9*3√2*(√2/2) = 13,5.

D Ответ: 13,5.

А С

рис.15
Тема: ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ
Задачи

В окружность радиуса 8√3/3 вписан правильный треугольник АВС. Хорда ВД пересекает сторону АС в точке Е так, что АЕ:ЕС=3:5. Найдите ВЕ.

Дано:

В ΔАВС – правильный

О – центр описанной окружности

ВД – хорда, ВДΩАС=Е,

АЕ:ЕС=3:5

Найти : ВЕ.

А С

рис.16

Решение:

R=8√3/3, тогда a₃=R√3, т.е. a₃=8. АВ=АС=ВС=8, АЕ=3, ЕС=5.

Из ΔАВЕ: ВЕ²= АЕ²+ АВ² – 2АЕ*АВ*соsА, ВЕ²= 9+64 – 2*3*8*1/2, ВЕ²= 49,

ВЕ = 7.

Ответ: ВЕ = 7.

Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании 75° описана окружность с центром О. найдите её радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.

Решение:

Поскольку ∆ ВОС равнобедренный ( ВО=ОС=R),

то S = ½*a*b*sinγ. Угол ВОС – центральный,

то он в 2 раза больше соответствующего

А О С вписанного угла А, < ВОС = 150°.

1/2R²*sin150°=16, откуда R²=16*2*2, R²=64

Рис17 и R=8.

Ответ: 8.

В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС, равной 20, проведена медиана ВМ. Окружность, вписанная в треугольник АВМ, касается медианы ВМ в точке Р. Найдите катет ВС, если ВР : РМ =3 : 2.

С Решение:

Так как ВМ – медиана, ∆ АВС - прямоугольный,

то АМ = МВ = 10. Отрезки МК = МР, АК = АН

и ВН = ВР как отрезки касательных.

МР =2/5МВ = 2/5*10 = 4, ВР = 3/5МВ = 3/5*10= 6,

К Р АК =АН =10-4=6, то АВ =6+6=12.

Из треугольника АВС по теореме Пифагора

ВС =√20² – 12² = √256 =16.

А Н В

рис.18 Ответ: 16.

Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом при основании 30°, если высота, проведённая к боковой стороне, равна 2√3.

Дано:

D ∆ АВС, АВ=ВС, <А=30°,

В АD – высота, АD= 2√3см

О – центр описанной окружности

2√3 Найти: радиус окружности .

А К C

рис.19
Решение:

Угол В=180° - 60° = 120°. В треугольнике АДС угол Д=90°, угол С=30°, тогда АС = 4√3 см, АК = =КС = 2√3. В треугольнике ОВС угол В = 60°, тогда угол О=60°, т.е.

∆ОВС – равносторонний.

ВС = R, ВК = R/2 (против угла в 30 градусов). R²/4 + (2√3)² = R², R² + 48 = 4R²,

R² =16, R=4.

Ответ: 4.

В треугольнике АВС угол В равен 30°. Около треугольника описана окружность радиусом 12. Хорда ВК проходит через середину М стороны АС, причём МК = 2. Найдите ВМ.

Решение задачи основывается на применение теоремы об отрезках пересекающихся хорд и свойстве вписанного угла в окружность. Ответ: 18.

В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если

АМ = 6, ВМ = 24.
Решение задачи основывается на применение свойств отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, на формуле r =2S/P. Ответ: 8.

Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается боковых сторон в точках А и Р, АР = 12. Найдите периметр треугольника.

Решение: ВD = 36, тогда ВК = 18, по свойству

отрезков касательных, проведённых из одной

A O P точки к окружности ВК = ВА = 18.

Треугольники АОС и ВНА подобны по первому

признаку подобия треугольников, тогда

АС/АВ =АО/ВН. ВН = 18-6 = 12, АС/18 = 6/12,

В Н К D АС = 9. ВС =18+9=27. Периметр

треугольника ВСD = 27 + 27 + 36 = 90.

рис.20 Ответ: 90.

В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с центром О. Луч СО пересекает сторону АВ в точке К, причём АК = 6, ВК = 12. Найдите периметр треугольника.

Решение: СК – биссектриса треугольника, это следует из того, что по условию СК проходит через центр вписанной окружности. По свойству биссектрисы имеем АК: ВК = =АС: ВС, АС = =(6*18)/12= 9 и периметр треугольника равен : 18 +18 +9 = 45.

Ответ: 45.
Тема: ПЛОЩАДИ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Задачи

В трапеции АВСD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне СD. Окружность, описанная около ∆ АВС, касается стороны СD, пересекает основание АD в точке М и делит его на отрезки АМ = 8 и МD = 2. Найдите площадь трапеции.

Решение: Так как окружность описана около треугольника АВС, касается прямой СД, то С – точка касания. Следовательно, радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен СД; по условию задачи диагональ АС перпендикулярна СД, отсюда следует, что АС – диаметр описанной окружности около ∆ АВС. Следовательно, <АВС и < СМА равны по 90°. АВСМ – прямоугольник, ВС = АМ = 8, СМ = √АМ*ДМ = 4.

S = (10 + 8)*4/2 = 9*4 = 36.

Ответ: 36.

Равнобедренный треугольник вписан в окружность радиусом R = 4√2 - √3. Найдите площадь треугольника, если угол, лежащий против основания треугольника равен 30°.

С Дано:

∆ АВС, АС = СВ, < C = 30°,

АО = R = √2 - √3.

Найти: площадь треугольника.

Решение:

А В

рис 21 Угол С = 30° - вписанный, тогда угол АСВ =60° - он

центральный, треугольник АОВ равносторонний,

АВ = R, АК = 2√2 -√3. S_∆ = 1/2AB*CK, CK = R + OK.

OK² = R² – AK², OK² = 16(2-√3) – 4(2-√3) = 12√2-√3, OK = 2√3(2-√3). CK = 4√2-√3 + +2√3(2-√3) = √2-√3*(4+2√3); итак, S_∆ = ½*4√2-√3*√2-√3*(4+2√3) = 2(2-√3)*2(2+√3) = 4(4-3) = 4.

Ответ: 4.

Остроугольный равнобедренный треугольник ВСD с основанием СD, равным 16, вписан в окружность с центром О и радиусом 10. Найдите площадь треугольника ВОС.

Дано: ∆ СВD, СВ = ВD, СD = 16,

О – центр описанной окружности, R =10.

Найти: площадь ∆ ВОС.

Н О

Решение:

С D Из треугольника КОD, <К = 90°, ОD = 10,

КD = 8, тогда ОК=6.

Рис.22 Площадь треугольника СВD=1/2СD*BK,

где ВК = 10+6 = 16,

S_∆_CBD = ½*16*16 = 128. S_∆_COD = ½*16*6 = 48. Тогда S_∆_BOC = ½( 128-48) = 40.

Ответ: 40.

В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность радиусом ⁴√6. Высота BD делится точкой пересечения с окружностью в отношении 2 : 1, считая от вершины В. Найдите площадь треугольника АВС.

Дано: ∆ АВС, АВ = ВС,

В О – центр описанной окружности,

r =⁴√6, ВМ : МD = 2:1.

Найти: площадь треугольника.

Решение:

S_∆_ABC= 1/2 AC*BD. ВМ : МD = 2:1, поэтому

К М DМ = 2⁴√6, ВМ = 4⁴√6, ВD = 6⁴√6.

О Из треугольника ВКО, ВО = 5⁴√6, ВК² = ВО² – ОК²,

ВК = √25√6 - √6 = 2⁴√216. Пусть АК =АD = х

(свойство касательных), тогда из треугольника АВD

А D С находим АD: (2⁴√216 +х)² = (6⁴√6)² =х², х = 3/⁴√6.

рис.23 АС = 6/⁴√6, S_∆ = ½*6/⁴√6*6⁴√6 = 18.

Ответ: 18.

В окружность с центром О вписан треугольник МРК, в котором угол М равен 65°, угол Р равен 70°. Найдите площадь треугольника РОМ, если сторона РМ равна 2.

Решение:

Угол К = 180° - (65° +70°) = 45°. Угол РКМ

вписанный, а угол РОМ – центральный,

О следовательно угол РОМ = 90°.

В треугольнике РОМ МО =РО= √2.

М К S_∆_POM= 1/2МО*ОР, S_∆_POM = ½*√2*√2 = 1.

рис.24 Ответ: 1.

Около окружности описана равнобокая трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции.

В М С Решение:

Так как окружность вписана в

четырёхугольник, то ВС + AD = AB + CD.

F P Этот четырёхугольник – равнобокая трапеция,

O значит BC + AD = 2FP.

Тогда АВ =СD = FP =5. ∆ АВК – прямоугольный, А D ВК = АВ*sinA; ВК = 5*0,8 = 4.

К S_ABCD= FP*BK =5*4 = 20.

рис.25

Ответ: 20.

Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если боковая сторона трапеции равна 10.

Решение задачи основывается на применении следующих фактов: в описанной около окружности трапеции высота равна диаметру окружности (h = 2r), сумма оснований равна сумме боковых сторон трапеции (a+b = c+d), полусумма боковых сторон равна средней линии ((c + d)/2 = m), а если трапеция равнобедренная, то её боковая сторона равна средней линии.

Тогда высота ВК = 8, площадь трапеции равна 8*10 =80, так как m =АВ = 10.

Ответ: 80.

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Основания трапеции равны 2 и 6. Найдите площадь трапеции.

В С Решение:

Пусть АВ = h = х, тогда СD = 8-х, ( так как

a + b = c + d), по теореме Пифагора

(8-х)² = х² + 4², 64-16х + х² = х² + 16,

16х = 48, х = 3. Тогда S = (2 + 6)*3/2 = 12.

Ответ: 12.

А Н D

рис.26

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, площадь которого равна 72√3.

Ответ: 6.

Литература
Для учащихся:

Л.С. Атанасян , В.Ф. Бутузов , Геометрия,7-9, М. Просвещение, 2005.
Единый государственный экзамен 2006: Математика, М. изд. Фолио, 2006.
Математика. Подготовка к ЕГЭ - 2009. Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. – Ростов–на – Дону: Легион, 2008.
ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания. Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко. М.: Экзамен, 2010.

Для учителя:

Л.С. Атанасян , В.Ф. Бутузов , Геометрия,7-9, М. Просвещение, 2005.
Л.Н. Харламова, Математика 8-9 классы. Элективные курсы, Волгоград, изд. Учитель, 2006.
Единый государственный экзамен 2002 : контрольные измерительные материалы : Математика , Л.О. Денищева, Е.М. Бойченко и др. – 2 е изд. – М.: Просвещение, 2003.
Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М.: Центр тестирования Минобразования России, 2004.
Единый государственный экзамен 2006: Математика, М. изд. Фолио, 2006.
Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2009. Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. – Ростов–на – Дону: Легион, 2008.
ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания. Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко. М.: Экзамен, 2010.

№	Тема	Всего часов	Форма обучения	Форма контроля
1	Решение треугольников	3	Беседа, практикум
2	Четырёхугольники	3	Беседа, практикум
3	Решение задач по теме «Площади»	3	Беседа, практикум
4	Площади многоугольников	1	Учебно-деловая игра «Строитель»	зачёт
5	Вписанные и описанные окружности	3	Практикум
6	Площади вписанных и описанных многоугольников	3	Беседа, практикум
7	Решение задач по всей программе	1	Работа в группах	Зачёт