Тема «Призма»
Цель: актуализация базовых знаний и способов действий по данной теме; проверка умений применять теоретический материал к решению задач; подготовка к экзамену по математике.
Задачи:
-
Ознакомление с геометрическим телом – призмой, с ее основными частями и видами, с формулами для вычисления площадей полной поверхности, боковой поверхности, объема;
-
Формирование навыков решения задач по данной теме;
-
Формирование умения применять приемы сравнения, обобщения, умозаключения; формирование навыков самоконтроля.
Ход урока:
Тема нашего урока «Призма». (слайд 1) Мы вспомним - какое геометрическое тело называется призмой, ее основные элементы, рассмотрим формулы для вычисления объема призмы, площадей полной и боковой поверхностей и закрепим материал в ходе решения задач.
Вопросы для повторения:
- Что называется многогранником?
- Из каких частей состоит многогранник?
- Что называется гранью многогранника?
- Что называют диагональю многогранника?
Общие теоретические сведения
Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , лежащих в параллельных плоскостях, и n параллелограммов ... (слайд 2,3)
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. (слайд 4)
Свойства призмы .(слайд 5)
-
Основания призмы являются равными многоугольниками.
-
Боковые грани призмы являются параллелограммами.
-
Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Различают призмы
прямые ,
наклонные и правильные. (слайд 6,7,8)
Диагональным сечением призмы называется ее сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, которые не лежат в одной грани.
(слайд 9)
Если секущая плоскость пересекает все боковые ребра призмы и перпендикулярна им, то получающееся при этом сечение называется перпендикулярным сечением призмы.
Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней.
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности.
.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
.
Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.
.
Объем призмы
, где S – площадь основания, H – высота призмы.
Объем призмы можно найти, умножив площадь перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. .
Частным случаем призмы является параллелепипед.
Параллелепипед – это призма, основаниями которой являются параллелограммы.(слайд 10)
Различают прямой, наклонный, прямоугольный параллелепипеды.
( слайд 11)
Свойства параллелепипеда (слайд 12)
Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называют его линейными размерами (измерениями).
У прямоугольного параллелепипеда три измерения.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
Повтори необходимые формулы :
1. Прямоугольный параллелепипед
Пусть a, b, с – стороны, d – диагональ параллелепипеда,
Sn – полная поверхность.
V=a*b*c
S
б=P*H=2(a+b)*c
d2= a2+ b2+ c2
Sn=2(ab+bc+ac)
2.Куб
Пусть a – ребро куба.
V=a3
d=a
Sб=4a2
Sn=6a2
Проверь себя! (слайд 13)
Ответь на теоретические вопросы по теме «Призма»
Опорные задачи.
-
Ребро куба равно a. Найдите: диагональ грани, диагональ куба, периметр основания, площадь грани, площадь диагонального сечения; площадь поверхности куба; периметр и площадь сечения, проходящего через концы трёх рёбер, выходящих из одной и той же вершины. (слайд 14)
-
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 32 см2, а площадь полной поверхности 40 см2. Найдите высоту призмы. (слайд 15)
-
Расстояния между боковыми рёбрами наклонной треугольной призмы равны 2 см, 3 см и 4 см. Боковая поверхность призмы 45 см2. Найдите боковое ребро. (слайд 16)
-
В правильной n – угольной призме проведена плоскость под углом 600 к основанию так, что она пересекает все боковые грани призмы. Площадь основания равна 50 см2. Найдите площадь сечения.
Решение: S
осн=S
сеч*cos 60
0
Sсеч=100 см2
-
Существует ли призма, имеющая 50 рёбер? 54 ребра?
Решение: Число ребер n – угольной призмы 3n, поэтому призмы, имеющей 50 ребер, не существует, а 54 ребра имеет 18-угольная призма.
-
В правильной треугольной призме плоскость сечения BCА1 образует с плоскостью основания двугранный угол φ. Постройте линейный угол этого двугранного угла. Дайте объяснение.
Построение: Проведём из вершины A правильного треугольника ABC высоту AK. Точка K принадлежит ребру BC. Соответственно, отрезок А
1К перпендикулярен ребру BC (по теореме о трёх перпендикулярах). Угол A
1КА– искомый.
Задания части В.
1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2. Чему будет равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро увеличить в 3 раза.
Решение. Пусть ребра данного параллелепипеда равны a, b и c. Тогда имеем: V=abc=2. После увеличения каждого ребра в 3 раза его объём будет равен
V=3a*3b*3c =27 abc=27*2=54.
Ответ: 54.
2. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда высотой 30 см. Если в него налить 30 л. воды, то до верхнего края останется 5 см. Сколько литров воды нужно, чтобы наполнить пустой аквариум доверху?
Решение. Пусть V и H соответственно объем и высота параллелепипеда.
V=SH . По условию V=30,H=25, тогда 25*S=30.
После заполнения пустого аквариума доверху H=30. Значит, 30*S=V.
Найдем отношение =, V=36 л.
Ответ: 36.
3. Кубик весит 10 гр. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 3 раза больше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала.
Решение. Пусть V- объём данного параллелепипеда. После увеличения каждого ребра в 3 раза, его объём будет равен 27 V.
, x=270 гр.
Ответ: 270.
Задания части С.
-
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AС1 и плоскостью BСC1.
Решение.
Из точки А опускаем перпендикуляр.
Т.к. , , то и
Тогда AC1 – наклонная, ВС1 – проекция прямой AC1 на плоскость BСC1. Т.к. угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость, то - искомый.
Треугольник ABC1- прямоугольный.
.
Пусть сторона куба равна a. Тогда .
.
Ответ: .
2. Сторона основания правильной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 12, а боковое ребро .Найдите градусную меру угла между плоскостями AB1C и ABC.
Решение.
-
Плоскость AB1C пересекает плоскость ABC по прямой AC. Построим линейный угол двугранного угла между этими плоскостями.
Для этого из точки B проведём перпендикуляр к прямой AC. Т.к. призма правильная, то её основанием является правильный четырёхугольник – квадрат. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, искомый перпендикуляр-отрезок BO – половина диагонали BD, причём точка O – середина отрезка AC.
Т.к. призма правильная, то она прямая, значит, боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, BO - проекция наклонной B1O. По теореме о трёх перпендикулярах наклонная B1O перпендикулярна прямой AC.
Следовательно, угол BOB1 является линейным углом двугранного угла между плоскостями AB1C и ABC.
-
В квадрате ABCD AB=12, BD=, BO=:2 =
-
Рассмотрим треугольник BB1O.
, а значит, прямая BB
1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC. Поэтому треугольник OBB
1 -прямоугольный, а значит
, следовательно,
.
Ответ: 300.
3. В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1найдите угол между плоскостью АА1С и прямой А1В, если АА1=3, АВ=4, ВС= 4.
Решение. Из точки В проведем перпендикуляр ВН к АС. А1Н – проекция А1В на плоскость АА1С. Значит, угол ВА1Н- искомый.
Из прямоугольного треугольника АВС находим ВН=2.
Из прямоугольного треугольника А1АВ находим А1В= 5.
Из прямоугольного треугольника А1НВ находим sinА1==
Ответ: arcsin.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 32. Чему будет равен объём
параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в 2 раза. (4)
2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 36 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд той же формы, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого. Ответ выразите в сантиметрах. (4)
3. Закрытый сосуд в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами 30, 40 и 45 см. стоит на горизонтальной поверхности таким образом, что наименьшая грань является дном. В сосуд налили воду до уровня 36 см. На каком уровне окажется вода, если сосуд поставить на наибольшую грань? Ответ дайте в сантиметрах. ( 24 )
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AA1 и плоскостью BC1D. ()
5. Основание прямой призмы АВСА
1В
1С
1- треугольник АВС, в котором
, ВС=2, sinА=0,3. Высота призмы равна
. Найдите синус угла между прямой ВС
1 и плоскостью АСС
1. ( 0,2)
6. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием, равным 6 см., и углом при вершине 120º. Диагональ боковой грани, содержащей основание равнобедренного треугольника, равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности. (48 +32
)