Указания к выполнению контрольной работы № 1
Задача 1
1. Найти критические точки функции f(X,Y), принадлежащие области D.
2. Исследовать функцию f(X,Y) на условный экстремум на границе области D.
3. Выбрать наибольшее Zmax и наименьшее Zmin значения функции Z=f(X,Y) в замкнутой области D, вычмслить значения функции в критических точках внутри области и на её границе.
4. В ответе записать Zmin, Zmax и координаты (Xmin,Ymin) и (Xmax,Ymax) точек, где достигаются эти значения. Изобразить графически область D и поместить на ней найденные точки (Xmin,Ymin) и (Xmax,Ymax).
Задача 2
1. Найти градиент функции U(X,Y) в точке М.
2. Найти вектор Е, задающий направление.
3. Вычислить производную функции U(X,Y) по направлению вектора E как проекцию градиента U в точке М на направление вектора Е.
Задача 3
1. Найти вектор N(X,Y,Z) нормали к поверхности S в произвольной точке M(X,Y,Z).
2. Найти вектор N1 нормали к плоскости P.
3. Найти точку M0(X0,Y0,Z0) на поверхности S, касательная плоскость в которой параллельна плоскости P, используя условие коллинеарности векторов N и N1.
4. Написать уравнение искомой плоскости. Если задача имеет более одного решения, в ответе написать уравнения всех плоскостей, удовлетворяющих данному условию.
Задача 4
1. Стационарные точки функции F(X,Y) определяются как решение системы уравнений:
; 
2. Полученная в п.1 система имеет вид:
Умножим первое из уравнений на d2, а второе на (-d1) и сложим их. (Если числа d1 и d2 имеют общие множители, то домножать нужно на недостающие множители). Получим однородное относительно неизвестных х и у уравнение: 
. Поделим его на у2 и решим его как квадратное уравнение относительно х/у, получим линейную зависимость между х и у:
; 
Подставляя найденные выражения для х в любое из уравнений первоначальной системы, вычислим значения у, а затем и х.
3. Исследуем найденные в п.2 стационарные точки (х, у) на экстремум.
Для этого вычислим вторые производные функции F. Обозначим повторную производную по х через A(х, у), повторную производную по у через С(х, у) и смешанную производную по х и у чеpез В(х, у). Достаточным условием существования экстремума в стационарной точке (х, у) является выполнение неравенства: АВ – С2 > 0. Если при этом A > 0, то (х, у) является точкой локального минимума, а если A < 0, то (х, у) - точка локального максимума. В случае АВ – С2 < 0 в стационарной точке экстремума нет.
Отчет о работе должен содержать:
1) Все частные производные первого и второго порядка функции F(х, у).
2) Решение системы уравнений, определяющей стационарные точки.
3) Исследование стационарных точек на экстремум с помощью достаточного условия экстремума.
4) Ответ записать в виде таблицы. В таблице указать:
- координаты всех стационарных точек, записанных в виде десятичных дробей с двумя знаками после запятой;
- значения функции F в стационарных точках, также записанные в виде десятичных дробей;
- около каждой стационарной точки написать, является ли она точкой локального максимума, локального минимума или не является точкой экстремума.
1. Найти все частные производные первого порядка функции
и написать формулу первого дифференциала для этой функции. Найти дифференциал в точке 
([4], стр. 192-196).
M0(1; 2; -2)
2. Найти все частные производные второго порядка функции 
и написать формулу второго дифференциала для этой функции. Найти значение второго дифференциала в точке 
([4], стр. 197-199).
; M0(1; 1)
3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
в замкнутой области D, задаваемой неравенством: 
([4], стр. 206-207).
4. Найти производную функции
в точке M(1; 1,2) в направлении вектора MN; N(7; -7). ([4], стр. 200-201).
5. Для поверхности S: 
найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости P:
([4], стр. 203-204).
6. Найти экстремумы функций двух переменных
определив её стационарные точки и проверив каждую из них с помощью достаточных условий экстремума. ([4], стр. 204-205).