11 класс.

Тема: "Критические точки функции, максимумы и минимумы"

Цели урока:

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ:

1.Вспомнить важнейшие понятия «производная», «геометрический смысл производной»,критические точки функции точки максимума, точки минимума.

2.продолжить усвоение основных понятий, формул и правил.

3.продолжить подготовку учащихся к ЕГЭ.

ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ

1. показать связь математики с информатикой, физикой

2.сформировать умение наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии.

3.развивать мышление, внимание, речь учащихся.

4.сформировать общетрудовые умения. в условиях наибольшей ответственности и ограниченности во времени.

ПРАКТИЧЕСКИЕ:

1.сформировать умения применять алгебраический аппарат к изучению данной темы.

2.сформировать умение производить вычисления при решении расчетных задач.

3.сформировать умение находить допущенные ошибки и неточности в решении.

ОБОРУДОВАНИЕ: плакаты с высказываниями, рисунки-эскизы для устных упражнений, карточки-тесты для работы в группах, бланки для ответов, компьютерные слайды, дифференцированные контролирующие задания на диске, рабочие тетради.
Вступительное слово учителя.

Ребята, как вы знаете, нам предстоит сдача ЕГЭ. Чтобы пройти это испытание успешно, необходимо много работать, повторять пройденный материал. Сегодня урок мы посвящаем производной, применению производной к решению некоторых задач.

1. Ярмарка.

1. 
   1.Почему функция y=1/x не имеет точек экстремумов?
   
2. 
   Функция y(x) непрерывна в точке x=4, причем y(x)>0 на (1;4) и y'(x)<0 на (4;7). Является ли точка x=4 точкой минимума?
   
3. 
   График производной. Верно ли, что точки х=-1, х=1, х=2 являются точками максимума?
   
   
4. 
   Является ли y(2) наименьшим значением функции, если функция y(x) задана на [-1;3]?
   
   
5. 
   D(y)=[1;5]. Назвать критические точки функции.
   
   

Ответы:

1. 
   Производная имеет отрицательный знак.
   
2. 
   х=4 - точка максимума.
   
3. 
   Верно, если х=2.
   
4. 
   Нет. Наименьшее значение в точке х=-1.
   
5. 
   х=2, х=4.
   

2. Лото, домино, пасьянс.

Эти игры проводятся в группах одновременно.

ЛОТО.

1. 
   y(x) = 5x - x², y'(x)=? при x=-5
   
2. 
   y(x) = -4x²+5, y'(x)=? при x=2
   
3. 
   y(x) = 1/x, y'(x)=? при x=-1/3
   
4. 
   y(x) = , y'(x)=? при x=1
   
5. 
   y(x) = (x - 1/2)², y'(x)=? при x=0
   
6. 
   y(x) = (x + 1/2)², y'(x)=? при x=2
   
7. 
   y(x) = (x - 3)², y'(x)=? при x=2
   
8. 
   y(x) = (x - 7)², y'(x)=? при x=5
   
9. 
   y(x) = (x + 5)², y'(x)=? при x=-5
   
10. 
    y(x) = 4x² - 3, y'(x)=? при x=2
    

Ответы: 15; -16; 16; -9; 0,5; -1; 5; -2; -4; 0.
Ложные ответы: -15; -0,5; 4; 1.

ПАСЬЯНС.

cu'	(u'v - uv')/v2	1/(2)	x'
(cu)'	u'v + uv'	()'	nxn-1
(u/v)'	(u + v)'	-1/x2	(xn)'
0	u' + v'	(1/x)'	2x
c'	(uv)'	1	(x2)'

ДОМИНО.

Начальная карточка:

( x2)'

x

0

2 x

-sin x

cos x

( ctg x )'

1/cos2 x

-1/x2

()'

(1/x)'

x'

( uv )'

6x2

x'

0

( x2/2 )'

( 1/x )'

1

c'

( tg x )'

( cos x )'

1/(2)

1

( 2x3 )'

3x2

(sin x)'

-1/x2

-1/sin2 x

c'

u'v + uv'

( x3 )'

3. Презентация команд.

а) Характеристика точек минимума, максимума, критической,

б) Характеристика точки х=0 на графике функции.

Желательно иметь 6 групп. Можно вести встречное обсуждение вопросов. Например, первая группа отвечает на вопрос , а четвертая, имеющая такой же вопрос, по этому вопросу является оппонентом. Вопрос следующий отвечать наоборот. Каждая группа получает задания и готовится, затем начинается обсуждение.

Задания группам:

1 группа.

1.Характеристика точки минимума.

2.Характеристика точки х=0 на графике функции.


2 группа.

1.Характеристика точки максимума.

2.Характеристика точки х=0 на графике функции.


3 группа.

1.Характеристика критической точки.

2.Характеристика точки х=0 на графике функции.

4. Творчество.

Индивидуальная работа в группах.

Задание: Найти экстремумы функции.

1. 
   y = x³ + 6x² - 15x - 3
   
2. 
   y = x³ - 6x² - 15x + 7
   
3. 
   y = x/4 + 9/x
   
4. 
   y = x/4 + 4/x
   
5. 
   y = 2 - x
   
6. 
   y = 8x - x⁴/4
   

Ответы:

1. 
   x_max = -5, x_min = 1, y_max = -127, y_min = -11.
   
2. 
   x_max = -1, x_min = 5, y_max = 17, y_min = -73.
   
3. 
   x_max = -6, x_min = 6, y_max = -3, y_min = 3.
   
4. 
   x_max = -4, x_min = 4, y_max = -2, y_min = 2.
   
5. 
   x_max = 1, y_max = 1.
   
6. 
   x_max = 2, y_max = 12.
   

6. Наши ошибки.

(Немаловажным является процесс проверки решенного, поиск ошибок, недочетов, неточностей)

Каждая группа получает задание и обсуждает его. Затем начинается защита решений.

1. 
   Функция возрастает на [-7; 2) и (2; 8], значит она возрастает на [-7; 8]. Верно ли?
   
2. 
   Производная функции в точке х₀ равна 0, значит х₀ - критическая точка. Верно ли?
   
3. 
   Производная функции не существует в точке х₀, значит х₀ - критическая точка. Верно ли?
   
4. 
   Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли?
   

5.Точка экстремума является критической точкой. Верно ли?

7. Итоги урока.