Контрольная работа по математике.

2 курс.1 семестр.

Образец решения задач

Задача 1. Дано: АА₁ – перпендикуляр,

АВ и АС – наклонные,  АВС = 90,  АСА₁ = 30,

АА₁ = 2, ВС =3, СМАВ.

Найдите: СМ

Решение:

1. 
   Рассмотрим САА₁:
    А₁ = 90, т.к. АА₁ плоскости α
    С = 30, АС – гипотенуза. АС = 2, АА₁=22=4
   
2. 
   Рассмотрим АВС:
    С = 90(по условию), по теореме Пифагора АВ²=ВС²+АС², АВ=_=5
   
3. 
   В АВС СМ – высота
   Пусть ВМ = х, то АМ = 5-х
   СМ²=СВ² – ВМ²; СМ² = 9-х² в СВМ
   СМ²=АС² – АМ²; СМ² = 16-(5-х² ) в АСМ
   9-х²=16-(5-х)²; 9-х²=16-25+10х-х²;10х=18; х=1,8
   ВМ = 1,8; то АМ = 5-1,8 = 3,2
   СМ²=16-(3,2)²=16-10,24=5,76; См = 2,4
   

Ответ: СМ = 2,4

Задача №2

Дано: MN – проекция отрезка АВ на плоскость α,

АD: DB =3:2, АМ = 8, BN = 12.

Найдите: DE

Решение:

1. 
   Построим АК MN
   
2. 
   BK= MN+NK = 12 + 8 = 20
   
3. 
   Р
    ADP  ABK
   ассмотрим АDP и АВК,
    А – общий,
   Р = К, т.к. АК  MN
   
4. 
   
   

DE = DP – EP = 12 – 8 = 4
Ответ: DE = 4

Задача 3. Дано: АВ – перпендикуляр к плоскости α,

АС и АD – наклонные,  АВС = 30,  АDB = 60,

 C B D= 90,

АB = 1

Найдите: P _СAD

Решение:

1. 
   P = CA +CD +DC:
   
2. 
   Рассмотрим АВD: АBBD, т.к. АB α
    D = 60   A = 30
   

AD= AB:sin 60 = 1 : _ = _

3. 
   Рассмотрим АВC: АBBC, т.к. АB α
   АB = 1 (лежит против угла в 30)  АС = 2 АВ = 2
   

ВС = 1  ctg 30 = _

4. 
   АВD: ВD = _ = _
   
5. 
   ВCD: CD= _ = _
   
6. 
   P = _
   

Ответ: Р= _
Задача 4. Дано: АВ – перпендикуляр,

АС и АD – наклонные, CBD – равносторонний АВ = ВС = BD

Найдите: _

Решение:

1. 
   Пусть ВС = BD= CD = АВ = а
   
2. 
    АВС = АBD т.к. АB α, то АBBD и АBBC и АВ = BD; АВ = BC  АC = AD
   
3. 
   по теореме Пифагора AC = _
   
4. 
   P _AСD=AC +AD +CD; P _AСD= _
   
5. 
   CВD – равносторонний, т.к. ВС = CD = BD, то r = _
   
6. 
   _
   

Ответ:_

Задача 5. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 34 см. высота – 32 см. Через большее основание проведена плоскость α, образующая с высотой трапеции угол в 60. Определить проекцию боковой стороны трапеции на плоскость α.
Дано: АВCD – трапеция, BКAD,

АD= 34 см BС = 10 см, BK= 32 см, AD α,  BKO = 60

Найдите: AO – проекция наклонной АВ/

Решение:

1. 
   Рассмотрим АBСD – трапецию  АВК: АК=_=12
   
2. 
    АВK: _
   
3. 
    ВОК: BO α BO KO,  BKO = 60, BO= BK sin 60 = 32 _
   
4. 
    АВO: BO α  BO AO, AO= _
   

Ответ: AO = 20

Контрольная работа

Вариант 1
1. Дано: АВ – перпендикуляр, АС и AD – наклонные,

 АСВ = 30, АС =16, BD = 6.

Найдите: AD




2. Дано: КМ– проекция отрезка АВ на плоскости ,
АМ=2, ВС:АС =1:4

Найдите: КВ

3. 
   Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости , проведены наклонные АС и BD, проекции которых на плоскость соответственно равны 3 см и 9 см и лежат по разные стороны от проекции отрезка АВ. Найти расстояние между основаниями наклонных, если АВ =16 см и АС  АВ, ВD  АВ. Сделайте чертеж.
   
4. 
   Из точки пространства проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 6, и наклонная длиной 9. Найдите проекцию перпендикуляра на наклонную.
   

Вариант 2




1. Дано: АВ – перпендикуляр,
АС и AD – наклонные к плоскости ,
 АСВ =  АDВ =30, СD = АВ.

Найдите:  САD




2. Дано: АВС, D – точка в пространстве,
DA = DC, DO  (ABC)

Найдите:  ACB

3. Прямые АВ и CD расположены по разные стороны от плоскости  и параллельны прямой EF, лежащей в этой плоскости. Найти расстояние между прямыми АВ и CD, если они удалены от прямой EF соответственно на 17 см и 25 см, а их проекции от той же прямой – на 15 см.

Сделайте чертеж.

4. 
   Сторона равностороннего треугольника равна 3. Найдите расстояние от его плоскости до точки, которая отстоит от каждой из его вершин на 2.
   

Вариант 3
1. Дано: АВ – перпендикуляр, АС и AD – наклонные,

 АСВ = 45, АС =16, BD = 6.

Найдите: AD



2. Дано: DE– проекция отрезка АВ на плоскости ,
АD=6, АС =12, ВЕ = 2.

Найдите: АВ

3. 
   В точках А и В плоскости  восстановлены к ней перпендикуляры АС =2,4 см и BD = 12 см. Через концы перпендикуляров проведены прямая DE до пересечения в точке Е с плоскостью . Найти длину отрезка DE, если расстояние между перпендикулярами равно 28 см. Сделайте чертеж.
   
4. 
   К данной плоскости проведены две равные наклонные; угол между ними равен
   

60, а угол между их проекциями – прямой. Найдите расстояние от данной точки до плоскости.

Вариант 4
1. Дано: АВС, О – центр окружности,
АВС, ОD(АВС),
DA+DB+DC = 3.

Найдите: 2DA + 4 DB +5 DC.

2. Дано: АВС,  ACB =90,
О – центр описанной окружности,
АМ = МC, OD  (ABC), АВ = 5,
АС = 3, DO = 2

Найдите: MD

3. 
   Даны плоскость  и АВС. Сторона АВ параллельна плоскости , а продолжения сторон АС и ВС пересекают плоскость  в точках D и Е. Определить DE, если АВ = 15 см и расстояние точек А и С от плоскости равны соответственно 6 см и 18 см.
   

4. 
   К данной плоскости проведены две равные наклонные; угол между ними равен
   

60, а угол между их проекциями – прямой. Найдите угол между каждой наклонной и ее проекцией.
Вариант 5

1. Дано: CD – проекция отрезка АВ на плоскость,

АС =5, BD = 11, CD =8.

Найдите: АВ



2. Дано: СD– проекция отрезка АВ на плоскости ,
АВ= 28, АС=4, ВD =10.

Найдите:  1

3. 
   Равнобедренная трапеция расположена на плоскости так, что основания ее параллельны плоскости. Проекция трапеции на плоскость  есть также трапеция описанная около круга. Определить угол между боковой стороной данной трапеции и перпендикуляров к плоскости , если основания трапеции равны 2 дм и 6 дм, а боковая сторона 8 дм. Сделайте чертеж.
   
4. 
   В равнобедренном треугольнике основание и высота равны по 4. Данная точка находится на расстоянии 6 от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.
   

Вариант 6
1. Дано: АВС, О – центр вписанной окружности,
ОD(АВС),
АС = ВС – 5, АВ =6, DО = 1, АМ = МВ.

Найдите: DМ.



2. Дано: АВС,  ACB =90,
DO  (ABC), DА = DВ=DC,
АО+СО+ВО =3ВС, DO = 4,
DС =8

Найдите:  1 + 2

3. Ромб, высота которого равна и острый угол равен 60, лежит одной стороной на плоскости . Проекция ромба на эту плоскость есть четырехугольник, один из углов которого равен 45. Найти площадь этого четырехугольника и расстояние второй стороны ромба от плоскости .

Сделайте чертеж.

4. 
   Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 3 и 4. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD=1. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы AB.
   

Вариант 7

1. Дано: АВ – перпендикуляр, АС = AD – наклонные,

 АСВ = 60, АС =4, BD = .

Найдите: AD



2. Дано: МN– проекция отрезка АВ на плоскости ,
АМ=6, ВN =8, АО=ОВ, ОК 

Найдите: ОК

3. 
   Определить форму сечения треугольной пирамиды плоскостью, параллельной двум скрещивающимся ребрам, если эти ребра взаимно перпендикулярны. Сделайте чертеж.
   
4. 
   Стороны треугольника относятся как10:17:21, а его площадь равна 84. Из вершины большего угла этого треугольника проведен перпендикуляр к его плоскости, равный 15. Найдите расстояние от его концов до большей стороны.
   

Вариант 8

1. Дано: АВ – перпендикуляр к плоскости ,
АС и AD – наклонные,
 АСВ =  АDВ =30,  САD = 60,
R= ( радиус окружности, описанной
около треугольника АСD).

Найдите: АВ


2. Дано: АВС,  АСВ = 90, AО = ОВ,
DO  (ABC), DС = 5, DO =3.

Найдите: S– площадь круга, описанного вокруг АВС.

3. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Через точку М, делящую сторону АВ основания в отношении 1:3, провели плоскость, параллельную стороне AD основания и боковому ребру SB. Вычислить площадь сечения, если AD = 36 см и SB = 30 см.

Сделайте чертеж.

4.К вершине А прямоугольника ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр АМ, конец М которого отстоит от других вершин на расстоянии 6, 7, и 9. Найти длину перпендикуляра АМ.
Вариант 9




1. Дано: АВ – перпендикуляр, АС и AD – наклонные,

 АСВ = 30, АС =16, BD =6.

Найдите: AD
2. Дано: КМ– проекция отрезка АВ на плоскости ,
АМ=2, ВС:АС = 1:4

Найдите: КВ

3. 
   Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости проведены наклонные АС и BD, перпендикулярные отрезку АВ, проекции которых на плоскость соответственно равны 3 см и 9 см и лежат по разные стороны от проекции отрезка АВ. Найти расстояние между основаниями наклонных, если АВ = 16 см. Сделайте чертеж.
   
4. 
   Высота правильной четырехугольной пирамиды равна _, апофема наклонена к плоскости основания под углом 30. Найдите боковые ребра.
   

Вариант 10

1. Дано: АВ – перпендикуляр,
АС и AD – наклонные к плоскости ,
 АСВ =  АDВ =30, СD =АВ.

Найдите: САD


2. Дано: АВС, D- точка в пространстве
DA=DB=DC, DO  (ABC),
 АОВ = 60,

Найдите:  АСВ.

3. Прямые АВ и CD расположены по разные стороны от плоскости  и параллельны прямой EF, лежащей в этой плоскости. Найти расстояние между прямой АВ и CD, если они удалены от прямой EF соответственно на 17 см и 25 см, а их проекции от той же прямой – на 15 см.

Сделайте чертеж.

4. 
   В параллелограмме АВCD вершина А и D находятся на плоскости М, а В и С – вне ее. Сторона AD = 10, сторона АВ = 15, проекции диагоналей АС и DD на плоскость М соответственно равны 13,5 и 10,5. Найдите диагонали.