Военно-космический кадетский корпус, г. Санкт-Петербург

Много лет я использую на уроках простые задачи представленного ниже типа. В самых распространенных школьных задачниках такие задачи почему-то отсутствуют.

Везде ниже предполагается (и в дальнейшем не повторяется в условиях задач), что токи текут в вакууме по бесконечным прямолинейным проводникам бесконечно малого поперечного сечения (а только для этого случая ученики и умеют рассчитывать магнитное поле тока).

Кратко напомним необходимый теоретический материал.

На расстоянии r от проводника, по которому течет ток силой I, вектор магнитной индукции по величине равен (1) или в практическом виде (2).

Направление вектора магнитной индукцииопределяется по правилу правого буравчика.

По принципу суперпозиции вектор магнитной индукции в какой-то точке равен векторной сумме магнитных индукций, созданных в этой точке каждым током в отдельности:

(3)

Больше нам ничего не понадобится.

Сначала приведем две задачи, где вектора направлены вдоль одной прямой и потому векторное сложение сводится к алгебраическому.

Задача 1. По двум взаимно перпендикулярным проводникам, лежащим в одной плоскости, текут токи I₁ и I₂, проводники изолированы. Найти величину вектора магнитной индукции в точках А и С, лежащих в той же плоскости. Точка А отстоит от первого проводника на расстояние а₁ и от второго – на а₂. Точка С отстоит от первого проводника на расстояние с₁ и от второго – на с₂ (см.рис.).

В условиях всех задач ниже токи текут по параллельным проводникам, перпендикулярным плоскости рисунка. Направления токов указываются на рисунке обычным образом.

Решение. По формуле (1) находим В₁ и В₂. Направления векторов и показаны на рисунке справа. Поэтому окончательно

Задача 3 представляется основной для излагаемого сюжета, поэтому прокомментируем её подробнее. Представляется, что текст можно не расширять – дополнительная информация о геометрии системы легко прочитывается на рисунке. Условия задачи (т.е. число проводников и значения силы токов) очень легко варьируются. Для упрощения выкладок можно подбирать такие соотношения между токами, чтобы задача свелась к расчету прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами: (3,4,5) или (5,12,13).

Приведем краткое решение.

Мы должны найти сумму следующих векторов:

Ученики обычно начинают решение с того, что вычисляют по формуле (1) магнитное поле каждого тока в точке О. При рациональной организации выкладок стоит при вычислениях по теореме Пифагора сразу вынести из-под корня общий множитель μ/2πa (и общий множитель значений токов, если он есть):

Приведем еще примеры задач на этот сюжет.

Решение приведем без пояснений:

Задача 5. По двум параллельным проводникам, перпендикулярным плоскости рисунка, текут токи: I₁=24 A, I₂=5 A. Отрезки, соединяющие точку О с проводниками составляют прямой угол, a₁=2 cм, а₂=1 см. Найти В(О).

Решение:

Теперь рассмотрим заметно более сложную задачу. Впрочем, сложности-то здесь скорее геометрического характера, чем физического.

Задача 6. Пусть два проводника с одинаковыми токами I₁=I₂=I отстоят на а друг от друга. Найти величину вектора магнитной индукции в точке О, отстоящей от первого проводника на расстояние а₁ и от второго – на а₂.

Решение.

Поскольку силы токов равны, из формулы (1) имеем:

Ясно, что вектор перпендикулярен отрезку, связывающему точку О с первым проводником, а вектор – отрезку, связывающему точку О со вторым проводником. Обозначим угол между этими отрезками θ, а между векторами и – φ.

Углы φ и δ равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому

θ+ φ=θ+δ=π.

Углы φ и γ равны, как углы соответственные.