Перейти на главную страницу
|
1 |
2 |
3 |
P |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
Если 1x<2, то неравенство x возможно только если =1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения F(x)=1/3.
Если 2x<3, неравенство x означает, что или =1, или =2, поэтому в этом случае вероятность P(
И, наконец, в случае x3 неравенство x выполняется для всех значений случайной величины , поэтому P(
Итак, мы получили следующую функцию:
Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин x и h задан c помощью таблицы
x h |
1 |
2 |
–1 |
1/16 |
3/16 |
0 |
1/16 |
3/16 |
1 |
1/8 |
3/8 |
Вычислить частные законы распределения составляющих величин x и h. Определить, зависимы ли они. Вычислить вероятность .
Аналогично получается частное распределение для h:
Полученные вероятности можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин:
x h |
1 |
2 |
px |
–1 |
1/16 |
3/16 |
1/4 |
0 |
1/16 |
3/16 |
1/4 |
1 |
1/8 |
3/8 |
1/2 |
ph |
1/4 |
3/4 |
1 |
Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин x и h. С этой целью для каждой клетки совместного распределения вычислим произведение (т.е. сумм по соответствующей строке и столбцу) и сравним его со значением вероятности
в этой клетке. Например, в клетке для значений x=-1 и h=1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4×1/4 равно 1/16, т.е. совпадает с совместной вероятностью. Это условие так же проверяется в оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех. Следовательно, случайные величины x и h независимы.
Заметим, что если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, то величины следовало бы признать зависимыми.
Для вычисления вероятности отметим клетки, для которых выполнено условие
. Таких клеток всего три, и соответствующие вероятности в этих клетках равны 1/8, 3/16, 3/8. Их сумма равна 11/16, это и есть искомая вероятность. Вычисление этой вероятности можно записать так:
|
–1 |
0 |
2 |
P |
1/4 |
1/4 |
1/2 |
Далее
а потому
Среднее квадратическое отклонение .
и значит,
чего и следовало ожидать вследствие независимости случайных величин.
М(xh)=0´0´1/5+1´0´1/5–1´0´1/5+0´1´1/5–0´1´1/5=0.
Получаем cov(x,h)=М(xh)–МxМh=0, и случайные величины некоррелированны. Однако они зависимы. Пусть x=1, тогда условная вероятность события {h=0} равна Р(h=0|x=1)=1 и не равна безусловной Р(h=0)=3/5, или вероятность {ξ=0,η=0} не равна произведению вероятностей: Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/25. Следовательно, x и h зависимы.
Задача 8. Случайные приращения цен акций двух компаний за день и имеют совместное распределение, заданное таблицей:
|
1 |
+1 |
1 |
0,3 |
0,2 |
+1 |
0,1 |
0,4 |
Найти коэффициент корреляции.
|
1 |
+1 |
p |
1 |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
+1 |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
p |
0,4 |
0,6 |
|
Определяем M=0,50,5=0; M=0,60,4=0,2; D=1; D=1–0,22=0,96; cov(,)=0,4. Получаем
h\x |
1 |
3 |
4 |
8 |
3 |
0,15 |
0,06 |
0,25 |
0,04 |
6 |
0,30 |
0,10 |
0,03 |
0,07 |
Из условия задачи найдем распределение составляющих h и x (последний столбец и последняя строка таблицы).
h\x |
1 |
3 |
4 |
8 |
Ph |
3 |
0,15 |
0,06 |
0,25 |
0,04 |
0,50 |
6 |
0,30 |
0,10 |
0,03 |
0,07 |
0,50 |
Px |
0,45 |
0,16 |
0,28 |
0,11 |
1 |
а искомое условное математическое ожидание равно .
Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .
Чтобы построить функцию распределения Fx(x), отметим, что интервал [0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: так как плотность x на полуоси Наконец, в последнем случае, когда x>2, так как плотность Итак, получена функция распределения
Следовательно, Далее,
Из условия задачи следует, что Далее, функция Значит,
Событие Если задана совместная плотность распределения Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями рx(х), рh(у) независимость означает, что при любых х и у выполнено равенство Аналогично, Очевидно, что в нашем случае Числовые характеристики для случайного вектора (x,h) можно вычислять с помощью следующей общей формулы. Пусть В частности, Представив треугольник двойной интеграл можно вычислить как повторный: Следовательно, Если x<0, то в этой формуле аргумент функции Таким образом, мы получили ответ: Поделив первую плотность на вторую, получаем условную плотность: Таким образом, речь идет о равномерном распределении на промежутке (0, 2–y). Функцию регрессии вычисляем как математическое ожидание равномерного распределения. Получаем jx|h(y)=(2–y)/2, 0 Вычислим эту же вероятность с помощью приближенной (интегральной) формулы Муавра-Лапласа: Отсюда Можно предложить и другой метод. А именно, пусть i – число деталей, которые пришлось перебрать, чтобы найти i-ую деталь отличного качества (включая ее саму). Случайные величины имеют геометрическое распределение с параметром p=1/2. Можем вычислить M=1/p=2, D=(1p)/p2=2. Используя ЦПТ, получаем неравенство
откуда следует n200+14,142,32=232,8 или, округляя, n234. Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когда x<0) вероятность события (x
равна нулю. Во втором случае
обращается в нуль на полуоси
.
Задача 2. Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Решение.
и значит,
Задача 3. Пусть задана случайная величина . Вычислить вероятность
.
Решение. Здесь и
. Согласно указанной выше формуле, получаем:
7. Функции от случайных величин. Формула свертки
Задача 1. Случайная величина x равномерно распределена на отрезке [0, 2]. Найти плотность случайной величины .
Решение.
является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0, 2] и имеет обратную функцию
, производная которой равна
Кроме того,
,
. Следовательно,
Задача 2. Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства x>h.
Решение. Площадь указанного треугольника равна
(см. рис. 7.1). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна
соответствует множеству
на плоскости, т.е. полуплоскости. Тогда вероятность
Рис. 7.1.
На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества
и 1/2 – внутри множества
. Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества:
и
. Следовательно, двойной интеграл по множеству B представляется в виде суммы интегралов по множествам
и
, причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому
.
случайной пары (x,h), то плотности
и
составляющих x и h называются частными плотностями и вычисляются по формулам:
.
Задача 3. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h.
Решение. Вычислим частные плотности и
. Имеем:
, и потому случайные величины x и h зависимы.
— совместная плотность величин x и h, а y(х,у) — функция двух аргументов, тогда
.
Задача 4. В условиях предыдущей задачи вычислить .
Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:
.
в виде
,
Задача 5. Пусть x и h — независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром . Вычислить плотность суммы
.
Решение. Поскольку x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны
Поэтому
отрицателен, и поэтому
. Следовательно,
Если же
, то имеем:
Задача 6. Двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Найти условное распределение x при условии h=y и функцию регрессии jx|h(y).
Решение. Как было показано ранее (см. задачи 2 и 3),
и
8. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема
Задача 1. В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 20.
Решение. Число успехов в этих испытаниях распределено по закону Бернулли, поэтому среднее число успехов равно М=np=400×0,8=320, а дисперсия D=npq=400×0,8×0,2=64. Тогда в силу неравенства Чебышева имеем:
Задача 2. В продукции цеха детали отличного качества составляют 50. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличается от 100 не более, чем на 5?
Решение. Пусть i случайное число деталей отличного качества в i-ой коробке, тогда при n=200, p=q=1/2 получим:
Задача 3. Используя условия задачи 1, указать, в каких границах с вероятностью 0,997 находится число деталей отличного качества в коробке.
Решение. По таблице функции Лапласа при условии находим u=3, и следовательно, Sn лежит в пределах
, т.е. число деталей отличного качества в коробке с вероятностью 0,997 находится в пределах 100 21.
Задача 3. Используя условия задачи 1, определить, сколько деталей надо взять, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было утверждать, что число деталей отличного качества среди них не менее 100.
Решение. Обозначим . Используя нормальное приближение, получаем
.
, а из таблицы 2 и свойств функции Лапласа получаем неравенство
. Обозначив
, с учетом p=q=1/2, приходим к квадратному неравенству х2 –2,3х–2000, решая которое, получаем n236.
,
Результаты получаются близкие, но первый метод более точен и потому предпочтительней. Вторым методом лучше пользоваться, если нужно определить границы, в которых лежит неизвестное число деталей.
Задача 4. Доходы жителей города имеют математическое ожидание 10 тыс. руб. и среднее квадратическое отклонение 2 тыс. руб. (в месяц). Найти вероятность того, что средний доход 100 случайно выбранных жителей составит от 9,5 до 10,5 тыс. руб.
Решение. Переформулируем условие задачи для суммарного дохода: он должен составлять от 950 до 1050 тыс. руб. Используя ЦПТ, получаем:
Задача 5. Срок службы электрической лампы имеет показательное распределение с математическим ожиданием 1000 часов. Найти вероятность того, что средний срок службы для 100 ламп составит не менее 900 часов.
Решение. Примем для простоты 1000 часов за единицу времени. Вспомним числовые характеристики показательного распределения: М=, D=
. Отсюда следует, что среднее квадратическое отклонение совпадает с математическим ожиданием (и оба они здесь равны единице). Переформулируя условие задачи для суммарного срока службы и используя ЦПТ, получаем:
<предыдущая страница
Задача в группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать?
14 10 2014
2 стр.
Во второй части курса рассматриваются некоторые важные задачи и подходы, которые обычно подробно не разбираются в стандартном курсе теории вероятностей и могут быть достаточно элем
17 12 2014
1 стр.
Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс, в ответах которых на запросы азартных игроков и переписке между
14 12 2014
2 стр.
Практикум предназначен для студентов специальностей 280102, 280103, 030501 очной и заочной форм обучения
14 12 2014
4 стр.
Евклида, и оказало огромное влияние на развитие математического мышления. Труды по алгебре, математическому анализу, теории вероятностей, механике, физике и астрономии
10 09 2014
1 стр.
Основным объектом классической теории вероятности является так называемое случайное событие, то есть событие, которое может произойти или не произойти в результате проведенного опы
17 12 2014
1 стр.
Ферма своими работами способствовал развитию новых отраслей в математике: математического анализа, аналитической геометрии (одновременно с Декартом), теории вероятностей
14 12 2014
1 стр.
Нахождение притяжения и гравитационной энергии тел в астрономии представляет собой одну из самых важных задач. Ряд новых методов в теории потенциала был разработан в [1] и особенно
14 12 2014
1 стр.