Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию РФ

Костромской государственный технологический университет

О.Р. Воронцова

ПРАКТИКУМ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В СХЕМАХ

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия для студентов

технических и гуманитарных специальностей

очной и заочной форм обучения

Кострома

2007
УДК 519.2 (075)


Рецензенты:

д.п.н., профессор кафедры математического анализа ЯГПУ Е.И. Смирнов

Воронцова О.Р. Практикум по теории вероятностей: учебное пособие / О.Р.Воронцова. – Кострома : Изд-во КГТУ, 2007. – 45 с .

Практикум обеспечивает методическую поддержку раздела «Случайные события» и может быть использован как самоучитель, с помощью которого студент освоит технологию решения типовых задач. Пособие содержит большое количество задач для тренинга.

Практикум предназначен для студентов специальностей 280102, 280103, 030501 очной и заочной форм обучения.

УДК 519.2 (075)

ISBN …..

© Костромской государственный технологический университет

ПРЕДИСЛОВИЕ
Математику уже затем учить следует, что

она ум в порядок приводит.

М.В. Ломоносов

Практикум:

• 
  полностью обеспечивает методическую поддержку раздела «Элементы теории вероятностей»;
  
• 
  может использоваться как самоучитель, с помощью которого студент освоит технологию решения типовых задач;
  
• 
  принесет максимальную пользу, если студент будет читать его, одновременно выполняя предлагаемые задания.
  

В каждом разделе практикума выделены следующие логические части: «Краткая теоретическая справка», в которой излагаются основные теоретические положения; «Алгоритм решения задач» с пошаговым описанием действий; «Задачи для тренинга», где дана постановка задачи; «Технология решения задач по алгоритму», где показывается, как решить задание; «Вопросы для самоконтроля», «Рекомендуемая литература».

При работе с практикумом следует придерживаться следующей последовательности действий:

• 
  сначала ознакомиться с рубрикой «Краткая теоретическая справка»;
  
• 
  перейти к рубрике «Алгоритм решения задач»;
  
• 
  внимательно прочитать текст задачи в рубрике «Задачи для тренинга»;
  
• 
  приступить к рубрике «Технология решения», где пошагово показано, какие действия выполнять для достижения цели. При возникновении вопросов в процессе выполнения задачи рекомендуется вновь обратиться к рубрике «Краткая теоретическая справка».
  

Методика, которая положена в основу практикума, позволяет существенно ускорить процесс решения типовых примеров, достаточно быстро сформировать целостное представление о технологии работы и ее возможностях для решения задач.

Отличие данного практикума от аналогичной литературы по соответствующей тематике состоит в том, что освоение темы происходит в процессе решения задач по алгоритму действий.
Помните: удача сопутствует упорным!
Раздел 1

Элементы

комбинаторики

• 
  Общие правила комбинаторики.
  
• 
  Основные комбинаторные конфигурации:
  

размещения, сочетания, перестановки.

1.1. Общие правила комбинаторики

Для успешного решения задач с использованием классического определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы комбинаторики.

Комбинаторика – это раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным правилам, можно составить из заданных объектов.

Основные правила комбинаторики: правило суммы и правило произведения.

Правила комбинаторики	Пример
Правило суммы
Если из некоторого конечного множества объект А можно выбрать m способами, объект В можно выбрать n способами, то выбор А или В можно осуществить m+n способами	Сколькими способами можно выбрать одну четную или одну нечетную цифру из числа 145 678. Решение: В числе 145 678 три четные цифры и три нечетные. Четные цифры можно выбрать 3 способами, нечетные – тоже 3 способами. Четную или нечетную цифры: 3+3=6 способами.
Если из некоторого конечного множества 1-й объект можно выбрать k1 способами, 2-й объект можно выбрать k2 способами, ……………………………………………, n-й объект можно выбрать kn способами то выбор или 1-го, или 2-го,…, или n-го объекта (любого из объектов) можно осуществить k1+k2+…+kn способами	Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, содержащей 5 красных, 7 синих, 3 зеленых карандаша? Решение: Красный карандаш можно выбрать 5 способами, синий – 7 способами, зеленый – 3 способами. Красный или синий или зеленый карандаш можно выбрать: 5+7+3=15 способами
Правило произведения
Если из некоторого конечного множества объект А можно выбрать m способами, объект В можно выбрать способами, то выбор пары А и В в указанном порядке можно осуществить m∙n способами	Сколькими способами можно выбрать одну четную и одну нечетную цифру из числа 145 678. Решение: В числе 145 678 три четные цифры и три нечетные. Четные цифру можно выбрать 3 способами, нечетные – тоже 3 способами. Четную и нечетную цифру: 3∙3=9 способами
Если из некоторого конечного множества 1-й объект можно выбрать k1 способами, 2-й объект можно выбрать k2 способами, ……………………………………………, n-й объект можно выбрать kn способами то выбор и 1-го, и 2-го,…, и n-го объектов (всех n объектов) можно осуществить k1∙k2 ∙…∙kn способами	В столовой имеются 4 первых блюда, 5 вторых и 3 третьих. Сколькими способами можно составить из них полноценный обед? Решение: Первое блюдо можно выбрать 4 способами, второе – 5 способами, третье – 3 способами. Выбор обеда из трех блюд: первое и второе и третье можно выбрать: 4∙5∙3=60 способами

2. 
   Основные комбинаторные конфигурации: размещения, сочетания, перестановки
   

Обычно в комбинаторике рассматривается идеализированный эксперимент по выбору k элементов из n. При этом элементы:

а) не возвращаются обратно (схема выбора без возвращений);

б) возвращаются обратно (схема выбора с возвращением).

Схема выбора без возвращений
Размещение из n элементов по k элементам	Перестановка из n элементов		Сочетание из n элементов по k элементам
Схема выбора c возвращением
Размещение из n элементов по k элементам с повторениями		Сочетание из n элементов по k элементам с повторениями

Размещения
Размещением из n элементов по k элементам называют упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n-элементному множеству	Размещения отличны друг от друга или порядком элементов, или их составом	Число размещений из n элементов по k элементам обозначается и вычисляется по формуле:
Перестановки
Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n	Перестановки отличны друг от друга порядком элементов	Число перестановок из n элементов обозначается и вычисляется по формуле Рn=n!
Сочетания
Сочетанием из n элементов по k элементам называют любой набор из k элементов, принадлежащих n-элементному множеству	Сочетания отличны друг от друга только составом элементов	Число сочетаний из n элементов по k элементам обозначается и вычисляется по формуле

Задачи на размещения
Технология решения задачи по алгоритму на размещения



Задачи для тренинга

1. 
   На 7 сотрудников выделены 5 различных путевок. Сколькими способами их можно распределить среди сотрудников?
   
2. 
   В группе 20 юношей и 20 девушек. Для участия в конкурсе «Студенческая весна» нужно выделить танцевальный дуэт, дуэт певцов и гимнастический дуэт (каждый из которых состоит из юноши и девушки). Сколькими способами это можно сделать, если все участники поют, танцуют и выполняют гимнастические упражнения?
   
3. 
   Сколькими способами из 20 членов правления фирмы можно отобрать трех для замещения вакансий зам. директора по строительству, по снабжению, по кадрам?
   
4. 
   Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
   

Задачи на сочетания
Технология решения задачи по алгоритму на сочетания


Задачи для тренинга

1. 
   В урне находятся 7 белых, 5 красных и 8 синих шаров. Сколькими способами из них можно выбрать 6 шаров так, чтобы среди них было 3 белых, 1 красный и 2 синих?
   
2. 
   Из колоды в 36 карт нужно выбрать 6 карт так, чтобы среди них оказалось 4 карты черной масти и 2 карты красной масти. Сколькими способами это можно сделать?
   
3. 
   Сколькими способами из имеющихся в магазине 12 бордовых, 15 красных и 10 розовых роз можно составить букет из 7 цветов так, чтобы в него входили 3 красных, 2 розовые и 2 бордовые розы?
   
4. 
   Личный состав отделения милиции состоит из 10 сержантов, 7 лейтенантов и 5 капитанов. Из них нужно составить группу, в состав которой войдут 4 сержанта, 3 лейтенанта и 1 капитан. Сколькими способами это можно сделать?
   

Задачи на перестановки
Технология решения задачи по алгоритму на перестановки




Задачи для тренинга

1. 
   В комнате имеется 8 стульев. Сколькими способами можно разместить на них: а) 8 гостей; б) 4 гостя?
   
2. 
   Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник произведений Д. Лондона, располагая тома в произвольном порядке?
   
3. 
   Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «Ученик»?
   
4. 
   В фирменном поезде «Кострома – Москва» 14 вагонов. Сколькими способами можно распределить бригаду проводников из 15 человек, если один – бригадир, а остальные должны быть по одному проводнику в вагоне?
   
5. 
   В семье шесть человек, за обеденным столом – шесть стульев. В семье решили ужинать каждый вечер так, чтобы, хотя бы один занял новое место. Сколько дней члены семьи могут сидеть по-разному?
   

Задачи для тренинга по теме «Комбинаторика»

1. 
   На оружейном складе имеются 10 винтовок с оптическим прицелом, 15 винтовок без оптического прицела и 12 карабинов. Сколькими способами можно выбрать 9 единиц оружия так, чтобы среди выбранных было две винтовки с оптическим прицелом, 4 винтовки без оптического прицела и 3 карабина?
   
2. 
   Сколькими способами можно выбрать одну гласную и две согласных буквы из слова «СТУДЕНТ»?
   
3. 
   Компания имеет 4 отдела: по производству, снабжению, менеджмента и маркетинга. Количество людей в каждом из отделов 30,8,5 и 4 соответственно. Каждый отдел собирается послать по два представителя на ежегодную встречу с директором. Сколько различных групп для встречи можно составить из числа работников компании?
   
4. 
   В лаборатории работает 20 человек, из них 55% женщин; 6 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если женщин и мужчин должно быть поровну?
   
5. 
   Сколькими способами из урны, содержащей 30 белых и 10 черных шаров, можно извлечь 40% всех шаров так, чтобы 2 из них были черными?
   
6. 
   Замок у сейфа открывается, если набрана правильная комбинация из четырех цифр от 0 до 9. Преступник пытается открыть сейф и набирает шифр наудачу. Найдите наибольшее возможное число безуспешных попыток.
   
7. 
   Абонент забыл две последние цифры номера телефона и набирает их наудачу. Каково наибольшее число безуспешных попыток абонента?
   
8. 
   Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 6 цифр. Оператор забыл или не знает необходимого кода. Сколько всевозможных комбинаций он может составить для набора пароля:
   

а) если цифры в коде не повторяются;

б) если цифры повторяются;

в) если число- пароль нацело делиться на пять и все цифры различны.

9. 
   Сколько можно составить танцевальных пар, если в клубе занимаются 10 юношей и 10 девушек одной возрастной категории?
   
10. 
    В столовой имеются четыре первых блюда, пять вторых и три третьих. Сколькими способами можно составить их них полноценный обед?
    
11. 
    Директор корпорации рассматривает заявления о приеме на работу 10 выпускников вуза. На одном из предприятий корпорации имеются три различных вакансии. Сколькими способами директор может заполнить эти вакансии?
    
12. 
    Из 14 членов легкоатлетической секции нужно выбрать 4 участников для забега в эстафете 100 м, 200 м, 500 м и 1000 м (каждый участник пробегает один этап). Сколькими способами это можно сделать?
    
13. 
    Восемь запечатанных конвертов с предложением цены поступили в агентство утренней почтой. Сколько существует различных способов очередности вскрытия конвертов с предложением цены?
    

Раздел 2

Теория вероятностей.

Случайные события

• 
  Основные понятия теории
  

вероятностей

• 
  Классификация событий
  
• 
  Действия над событиями
  
• 
  Определение вероятности
  
• 
  Основные теоремы вероятностей
  
• 
  Формула полной вероятности
  
• 
  Формула Байеса
  
• 
  Повторные независимые испытания
  

следующая страница>