2.4. Определение вероятности

Краткая теоретическая справка

Аксиоматическое определение вероятности	Вероятностью события А называется численная мера объективной возможности появления события. Р(А)≥0; Р(Ω)=1
Классическое определение вероятности	Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных равновозможных исходов эксперимента: , где m(А) – число исходов, благоприятствующих событию А; n(Ω) – общее число исходов эксперимента.
Статистическое определение вероятности	Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях: где ω(А) – относительная частота события А; m – число испытаний, в которых появилось событие А; n – общее число испытаний.
Геометрическое определение вероятности	Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области:

Алгоритм решения задач на классическое определение вероятности


Технология решения задач по алгоритму

на классическое определение вероятности









Задачи для тренинга

1. 
   В лаборатории работает 20 человек, из них 55% женщин; 6 сотрудников должны уехать в командировку. Какова вероятность того, что среди них женщин и мужчин будет поровну?
   
2. 
   В коробке находятся 6 одинаковых по форме и близких по диаметру сверл. Случайным образом сверла извлекаются из коробки. Какова вероятность того, что сверла извлекутся в порядке возрастания их диаметра?
   
3. 
   На пяти карточках написано по одной цифре: 1; 2; 3; 4; 5. Наугад выбирают две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке больше, чем на первой?
   

4. Дано 6 карточек с буквами: Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что:

1. 
   получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки;
   
2. 
   получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой вынимаются 6 карточек и располагаются в порядке появления?
   

Геометрическое определение вероятности
При решении задач на геометрическую вероятность придерживаются классической схемы решения, заменяя нахождение m(A) и n(Ω) вычислением соответствующих длин, площадей или объемов.
Технология решения задач по алгоритму

на геометрическое определение вероятности





Задачи для тренинга

1. 
   В отрезке АВ длины 3 случайно появляется точка С. Определить вероятность того, что расстояние от точки С до В превосходит 1.
   
2. 
   В прямоугольном броневом щите размером 2х1 м имеется невидимая для противника амбразура размером 10х10 см. Определить вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадет в амбразуру, если попадание в любую точку щита равновозможно.
   
3. 
   В круг радиусом 5 вписан треугольник наибольшей площади. Определить вероятность попадания в треугольник точки, случайно брошенной в круг.
   
4. 
   Минное заграждение состоит из мин, расположенных в одну линию на расстоянии 60 м одна от другой. Ширина корабля 20 м. Какова вероятность того, что корабль благополучно пройдет через заграждение?
   

2.5. Основные теоремы теории вероятностей

Краткая теоретическая справка

Теорема 1	Теорема 2
P(A+B)=P(A)+P(B), A и B несовместные события	P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A ∙ B), A и B совместные события P(A1+А2+…+Аn)=1- P(∙ ∙ …∙ ), A1 , A2, …, An – совместные события A1 + A2 +…+An = A , где A – {появление хотя бы одного события}
Теорема 3	Теорема 4
P(AB)=P(A) ∙ P(B), A и B независимые события	P(A ∙ B)=P(A) ∙ PА (B), A и B зависимые события

Алгоритм решения задач на основные теоремы вероятностей



Теорема 1
Технология решения задач по алгоритму


Задачи для тренинга

1. 
   Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания в эти зоны при одном выстреле соответственно равны 0,1;0,35 и 0,4. Найти вероятность а) попадания в первую или третью зоны; б) попадания в мишень; в) промаха по мишени.
   
2. 
   Вероятность выхода изделия из строя при сроке его эксплуатации до одного года равна 0,13, а при эксплуатации сроком до 3 лет – 0,36. Найти вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации от 1 года до 3 лет.
   
3. 
   В партии из 70 изделий 10% бракованных. С целью контроля из этой партии отбирают наугад 5 изделий. Если среди них окажется более 1 бракованного, то бракуется вся партия. Какова вероятность того, что партия изделий будет забракована?
   

Теорема 2
Технология решения задач по алгоритму



Задачи для тренинга

1. 
   Определить вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.
   
2. 
   Покупатель ищет необходимую вещь, обходя два магазина. Вероятность наличия ее в каждом магазине равна 50%. Что вероятнее – найдет он искомую вещь или нет?
   
3. 
   На 200 лотерейных билетов 20% выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено 2 билета?
   

Задачи для тренинга

1. 
   На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся 3 книги. Какова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей?
   
2. 
   Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,32, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех трех предприятий, получит высокие дивиденды хотя бы на одном предприятии.
   
3. 
   Абитуриент сдает два вступительных экзамена по математике и иностранному языку. Вероятность получения высшего балла по математике 0,6, а по иностранному языку 0,8. Найти вероятность того, что:
   

1. 
   абитуриент получит хотя бы один высший балл;
   
2. 
   получит один высший балл.
   

Теорема 3
Технология решения задач по алгоритму



Задачи для тренинга

1. 
   В финальных соревнованиях по прыжкам в высоту два студента готовятся к взятию предельной высоты. Вероятность успешного прыжка первого студента Р(А)=0,8, а у второго Р(В)=0,9. Какова вероятность того, что оба студента возьмут предельную высоту?
   
2. 
   Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишени 3 пробоины?
   
3. 
   На дактилоскопическую экспертизу поступило 3 отпечатка пальцев рук. Вероятность непригодности к работе каждого отпечатка соответственно составляет 0,1; 0,15; 0,2. Найти вероятность того, что все три отпечатка будут обработаны.
   

Теорема 4
Технология решения задач по алгоритму



Задачи для тренинга

1. 
   На экспертизу в одной коробке поступили 7 гильз от автомата Калашникова отечественного производства и 5 гильз такого же автомата, но китайского производства. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая гильза окажется от автомата отечественного производства, а вторая гильза – китайского производства.
   
2. 
   Только 1 из 9 ключей подходит к данному замку. Какова вероятность того, что придется опробовать 2 ключа для открывания замка?
   
3. 
   Найти вероятность того, что получится слово «АНАНАС», если на отдельных карточках написаны три буквы А, две буквы Н и одна буква С и карточки в случайном порядке прикладывают одну к другой.
   

Технология решения задач по алгоритму

на основные теоремы вероятности





<предыдущая страница | следующая страница>