Практикум по теории вероятностей в схемах

2.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Краткая теоретическая справка

Формула полной вероятности
Событие А может произойти только после наступления одного из событий H₁, H₂, …,H_n (гипотезы): H_i∩H_j=Ø; H₁+H₂+…+H_n=Ω	где Р(H_i) – вероятность реализации i-й гипотезы; P(A/H_i) – условная вероятность наступления события А при наступлении i-й гипотезы (i=1,2,…,n)
Формула Байеса
Событие А произошло в результате опыта	где P(H_i /A) – условная вероятность реализации гипотезы H_i при условии того, что событие А наступило (i=1, 2, …, n)

Алгоритм решения задач на формулу полной вероятности

и формулу Байеса

Формула полной вероятности
Технология решения задач по алгоритму

Задачи для тренинга

Определить вероятность того, что путник вышедший из А попадет в В, если на развилке он наугад выбирает любую дорогу, кроме обратной.

Имеются две одинаковые урны с шарами. В первой находятся 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных шара. Из наудачу выбранной урны вынимают 1 шар. Какова вероятность, что этот шар – белый?

Формула Байеса
Технология решения задач по алгоритму

Задачи для тренинга

Имеются 3 одинаковых конверта. В первом конверте 15 вариантов контрольных работ по информатике, во втором – 10 вариантов работ по информатике и 5 вариантов работ по математике, в третьем – 15 вариантов работ по математике. Из выбранного наугад конверта вынули работу по математике. Найти вероятность того, что контрольная работа взята из второго конверта.
В сеансе одновременной игры в шахматы с гроссмейстером играют 10 перворазрядников, 5 второразрядников. Вероятность того, что в таком сеансе перворазрядник выиграет у гроссмейстера, равна 20%, для второразрядника эта вероятность равна 10%. Случайно выбранный участник выиграл. Какова вероятность того, что это был второразрядник?

Технология решения задач по алгоритму

на формулу полной вероятности и формулу Байеса

Повторные независимые испытания

Краткая теоретическая справка

Производятся n независимых, однородных испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р=р(А)и не произойти с вероятностью q=1-p
Вероятность того, что событие А произойдет ровно k раз при n испытаниях
Формула Бернулли	Формула Пуассона	Формула Муавра-Лапласа

Условия опыта испытания независимы; испытание имело только два исхода; p – const	Условия опыта	Условия опыта

Алгоритм решения задач на повторные независимые испытания

Формула Бернулли
Технология решения задач по алгоритму

Задачи для тренинга

Вероятность выигрыша по облигациям займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 8 взятых облигаций:

а) выиграют только 3;

б) проиграют не менее 7.

Вероятность того, что в сентябре день будет дождливым равна 0,45. Найти вероятность того, что из первых 6 дней сентября дождливыми окажутся: а) ровно 4 дня; б) не менее 3 дней.
Тест содержит 10 вопросов, на которые следует отвечать, используя одно из двух слов «ДА», «НЕТ». Какова вероятность получения 80% правильных ответов, если использовать «метод угадывания»?

Формула Пуассона
Технология решения задач по алгоритму

Задачи для тренинга

В пчелиной семье 5000 пчел. Вероятность заболевания в течение дня равна 0,001 для каждой пчелы. Найти вероятность того, что в течение дня заболеет:

а) три пчелы;

б) более чем одна пчела.

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9 «сбоев».
Какова вероятность того, что среди 730 пассажиров поезда:

а) четверо родились 23 февраля;

б) двое родились 8 марта.

Формула Муавра – Лапласа
Технология решения задачи по алгоритму

Задачи для тренинга

Вероятность заболевания ОРЗ во время эпидемии равна 0,3. Найти вероятность того, что из 500 сотрудников вуза во время эпидемии заболеют 50%.
Вероятность того, что зашедший в ресторан посетитель сделает заказ, равна 0,8. Определить вероятность того, что из 100 посетителей ровно 75 сделают заказ.
Установлено, что виноградник поражен вредителями в среднем на 10%. Определить вероятность того, что из 10 проверенных кустов винограда один будет поражен. Вычислить вероятности по формулам Бернулли, Пуассона, Лапласа. Сравнить результаты и сделать выводы.

Задачи для тренинга по теме «Определение вероятности»

Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что на ее верхней грани появится: а) шесть очков; б) нечетное количество очков; в) не менее четырех очков; г) не более двух очков.

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) на обеих костях появится одинаковое количество очков; б) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение шести; в) сумма выпавших очков не превосходит шести; г) произведение числа очков делится на шесть.
В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
В ящике находятся 90 годных и 10 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди двух наугад вынутых из ящика деталей будет одна дефектная.
Студент знает 24 из 30 вопросов программы. Найти вероятность того, что он ответит на два вопроса из трех, содержащихся в билете.
В лотерее участвуют 200 билетов, из них крупные выигрыши приходятся на 10 билетов. Найти вероятность того, что из двух купленных билетов на один выпадет крупный выигрыш.
В коробке находятся 18 красных и 16 зеленых шаров. Наудачу извлекают два шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары разного цвета.
В ящике имеется 20 деталей, из которых 15 окрашены. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
В сборной команде университета 10 студентов механического факультета, 8 – технологического и 8 – юридического. Тренер выставляет на игру случайным образом отобранных 6 спортсменов. Найти вероятность того, что среди них 2 с механического факультета, 2 – с технологического и 2 – с юридического?
На экспертизу поступили три партии одинаковых золотых изделий – по 20 штук. В первой коробке было одно бракованное изделие, во второй – два, в третьей – четыре. Из каждой коробки наугад извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что окажутся бракованными: а) все три изделия; б) одно изделие; в) два изделия; г) хотя бы одно изделие?
В ящике 10 красных и 6 синих одинаковых по форме пуговиц. Наудачу вынимаются две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одного цвета?
В урне 25 белых и 20 черных шаров. На удачу извлекают 2 шара. Какова вероятность тога, что оба шара будут одного цвета?
В партии их 10 изделий 2 бракованных. Наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет хотя бы одно бракованное.
В лотерее из 200 билетов четверть выигрышных. Девушка покупает 3 билета. С какой вероятностью можно сказать, что из купленных билетов хотя бы 2 выигрышных?
В отрезке АВ длины 5 случайно появляется точка С. Определить вероятность того, что расстояние от точки С до А превосходит 2.
В прямоугольном броневом щите размером 2 на 1 метр имеется невидимая для противника амбразура размером 10 на 10 см. Определить вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадет в амбразуру, если попадание в любую точку щита равновозможно.
В круг радиусом 5 вписан треугольник наибольшей площади. Определить вероятность попадания в треугольник точки, случайно брошенной в круг.

Задачи для тренинга по теме «Основные теоремы вероятности»

Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.
В соревнованиях по бегу участвуют 20 перворазрядников и 5 мастеров спорта. На стартовую позицию по жребию последовательно вызываются 2 участника. Найти вероятность того, что оба участника соревнований мастера спорта.
Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,32, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех трех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.
Проверяются изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное равна 0.9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только одно стандартное.
Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить 3 бомбы, вероятности попадания которых соответственно 0,4, 0,5 и 0,6.
Вероятность успешной сдачи экзамена по математике у студента А, студента В и студента С соответственно равны 0.7, 0.9 и 0.5. Найти вероятность того, что: а) все три студента успешно сдадут экзамен; б) только один студент сдаст экзамен; в) только два сдадут экзамен; г) ни один не сдаст экзамен.
Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,9 и для четвертого – 0,85. Найти вероятность того, что в течение смены: а) только один станок потребует внимания; б) ни один станок не потребует внимания; в) только три станка потребуют внимания; г) все 4 станка потребуют внимания.
Вероятность безотказной работы нового компьютера равна 0.95, а старого 0.75. Найти вероятность того, что а) только один компьютер выйдет из строя; б) оба выйдут из строя; в) ни один не выйдет из строя.
Вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдет из строя пылесос, равна 0,15; выйдет из строя телевизор – 0,2. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока: а) оба прибора выйдут из строя; б) хотя бы один прибор выйдет из строя?

Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении равна 0,05, второго – 0,08. Найти вероятность того, что при включении прибора: а) оба элемента выйдут из строя; б) хотя бы один элемент выйдет из строя.
Для сигнализации об аварии на автоматической линии установлены два независимо работающих устройства. Первое устройство в случае аварии срабатывает с вероятностью 0,85; второе – 0,95. Какова вероятность того, что в случае аварии сработает: а) только первое устройство; б) хотя бы одно устройство?
Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым стрелком – 0,6. Стрелки сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в цель попадет: а) только один стрелок; б) хотя бы один стрелок?

Два независимо работающих станка требуют внимания наладчика в течение смены с вероятностью р₁= 0,2 и р₂ = 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены внимания наладчика потребуют: а) оба станка; б) хотя бы один станок.
В первом ящике 10 белых и 20 черных шаров, во втором ящике 12 черных и 18 белых шаров. Из каждого ящика наудачу вынули по одному шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров: а) один шар белый; б) хотя бы один шар белый?
Узел содержит 3 независимо работающих детали. Вероятность отказа деталей соответственно равны 0,1, 0,2 и 0,3. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.
Абитуриент сдает два вступительных экзамена по математике и иностранному языку. Вероятность получения высшего балла по математике 0,6, а по иностранному языку – 0,8. Найти вероятность того, что абитуриент получит: а) хотя бы один высший балл; б) получит один высший балл.
Два автомобиля участвуют в гонках по пересеченной местности. Вероятность того, что первый автомобиль пройдет трассу без поломок, равна 0,65, для второго автомобиля эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что без поломок пройдет трассу: а) только один автомобиль; б) хотя бы один автомобиль.
На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета?

Задачи для тренинга по теме

«Формула полной вероятности и формула Байеса»

При исследовании жирности молока коров все стадо было разбито на три группы. В первой группе оказалось 70%, во второй 23% и в третьей 7% всех коров. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной коровы, имеет не менее 4% жирности, равна 0,6; 0,35 и 0,1 для каждой группы коров соответственно.
1. Определить вероятность того, что для взятой наудачу коровы, жирность молока составит не менее 4%.
2. Взятая наудачу корова дает молоко жирностью не менее 4%. Найти вероятность того, что эта корова из первой группы.
Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых 8 пристрелянных, 2 – нет. Вероятность попадания в цель из пристрелянной винтовки равна 0,6, а из не из пристрелянной – 0,4.
1. Какова вероятность того, что стрелок из наудачу взятой винтовки попадет в цель при одном выстреле?
2. Стрелок поразил мишень. Какова вероятность, что он стрелял из пристрелянной винтовки?
В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады, равна 0,7, для второй – 0,8.
1. Определить вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет стандартной.
2. Взятая наугад единица продукции оказалась стандартной. Какова вероятность, что она из второй бригады?
В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%.
1. Найти вероятность того, что приобретенное изделие оказалось стандартным.
2. Приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?
Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% – второго и 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для I класса риска равна 0,01, II – 0,03, III – 0,08.
1. Какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования?
2. Какова вероятность, что получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?
Для приема зачета по курсу «Математика» преподаватель заготовил 50 задач: 20 – по дифференциальному исчислению, 20 – по интегральному исчислению, 10 – по теории вероятностей. Для получения зачета необходимо решить первую доставшуюся задачу. Студент умеет решать лишь 18 задач по дифференциальному исчислению, 15 – по интегральному исчислению и 5 – по теории вероятностей.
1. Какова вероятность, что студент получит зачет?
2. Известно, что студент сдал зачет. Определить вероятность того, что он решил задачу по теории вероятностей.

Задачи для тренинга по теме «Повторные независимые испытания»

Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0.4. Найти вероятность того, что из 10 сотрудников фирмы заболеют ровно 5.
Монета бросается 5 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает два раза.
Всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 семян взойдет 5.
В магазин вошли 10 покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,2. Найти вероятность того, что 6 из них совершат покупку.
Принимая вероятность рождения мальчика равной 0,51, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух мальчиков.
Стрелок производит 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что цель будет поражена: а) 4 раза; б) более трех раз.
Вероятность того, что поезд опоздает к месту назначения более чем на 5 минут для каждого рейса постоянна и равна 0,4. Найти вероятность того, что из 5 рейсов поезд опоздает более чем на 5 минут: а) в 3 рейсах; б) менее чем в 3 рейсах.
Вероятность того, что лампочка перегорит менее чем через 100 часов непрерывной работы, равна 0,25. Какова вероятность того, что из 4-х купленных лампочек менее чем через 100 часов перегорят: а) ровно 3 лампочки; б) более 2 лампочек.
Игральный кубик подбрасывают 8 раз. Найти вероятность того, что шесть очков выпадает: а) ровно 5 раз; б) менее 5 раз.
Вероятность получения удачного результата при проведении сложного химического опыта равна 2/3. Проведено 7 опытов. Найти вероятность того, что удачный результат получен: а) ровно в 3 опытах; б) более чем в 5 опытах.
Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна 0,1. Найти вероятность того, что за 6 смен неполадка станка возникнет: а) ровно два раза; б) менее 4 раз.
Вероятность того, что токарь выточит качественную деталь, равна 0,85. Определить вероятность того, что из 5 деталей окажется: а) ровно 4 качественных; б) менее 3 некачественных.
Вероятность того, что баскетболист при броске попадет в корзину, равна 0,3. Определить вероятность того, что, сделав 6 бросков, он попадет: а) ровно 4 раза; б) не менее 4 раз.
При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,01. Определить вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит: а) ровно 3 искажения; б) не более 2 искажений.
Известно, при транспортировке и разгрузке керамической отделочной плитки повреждается 2,5%. Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток поврежденными окажется: а) ровно 4; б) не более 3.
Вероятность того, что при сортировке изделий одно из них будет разбито. Равна 0,005. найти вероятность того, что из 300 изделий разбитыми окажутся: а) три изделия; б) не более двух.
На факультете учатся 800 студентов. Вероятность дня рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Найти вероятность того, что найдутся 3 студента с одним и тем же днем рождения.
Численность работников предприятия составляет 500 человек. Вероятность невыхода на работу из-за болезни равна 0,01 для каждого работника. Определить вероятность того, что в ближайший день не выйдет на работу хотя бы один из работников.
Всхожесть семян составляет 80%. Какова вероятность того, что из 100 посеянных семян взойдут 76 ?.
Известно, что 30% призывников имеют 42 размер обуви. Определить вероятность того, что из 200 прибывших новобранцев половине потребуется обувь 42 размера.

Вопросы для самопроверки

на тему «Элементы комбинаторики»

Что изучает комбинаторика?
Сформулируйте правила сложения и умножения в комбинаторных задачах.
Что называется размещением из n элементов по k элементам?
«Два размещения различны, если….» (продолжить фразу).
Формула для вычисления числа размещений из n по k.
Что называется сочетанием из n элементов по k элементам?
«Два сочетания различны, если …» (продолжить фразу).
Формула для вычисления числа сочетаний из n по k.
Что называется перестановкой n-элементного множества?
«Две перестановки различны, если…» (продолжить фразу).
Формула для вычисления числа перестановок n-элементного множества.

на тему «Случайные события»

Что изучает теория вероятностей?
Сформулируйте понятие стохастического эксперимента. Приведите пример.
Что такое элементарное событие, пространство элементарных событий? Приведите примеры.
Сформулируйте определение случайного, достоверного, невозможного событий. Приведите примеры.
Что называется суммой, произведением, разность событий?
Какие события образуют полную группу событий?
Какие события называются противоположными?
Сформулируйте классическое определение вероятности события.
Сформулируйте геометрическое определение вероятности события.
Сформулируйте аксиоматическое определение вероятности события.
Сформулируйте статистическое определение вероятности события.
Какие события называются совместными, несовместными? Приведите примеры.
Какие события называются зависимыми, независимыми? Приведите примеры.
Что называется условной вероятностью события?
Как вычисляется вероятность суммы двух событий, если они несовместны, совместны?
Как вычисляется вероятность произведения двух событий, если они независимы, зависимы?
Как вычисляется вероятность появления хотя бы одного события.
Формула полной вероятности. При каких условиях она справедлива?
Формула Байеса. При каких условиях она справедлива?
Формула Бернулли. При каких условиях она справедлива?
Формула Пуассона. При каких условиях она справедлива?
Формула Муавра-Лапласа. При каких условиях она справедлива?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Где отсутствуют точные знания,

там действую догадки,

а из 10 догадок 9 – ошибки.

М. Горький
Обсудим основные источники ошибок. Все ошибки можно разбить на 3 группы:

1) арифметические ошибки при вычислениях;

2) ошибки, связанные с незнанием или неправильным использованием формул;

3) ошибки, допускаемые из-за незнания алгоритмов решения задач конкретного типа.

Группы ошибок	Средства борьбы
Арифметические ошибки при вычислениях	Не злоупотребляйте вычислениями в уме. Не торопитесь «покончить» с задачей. Помните поговорку: « Если ты делаешь работу быстро, но плохо, то все забудут, что ты делал ее быстро, но будут помнить, что ты сделал ее плохо. Если ты делаешь работу медленно, но хорошо, то все забудут, что ты делал ее медленно, но будут помнить, что ты сделал ее хорошо»
Ошибки, связанные с незнанием или неправильным использованием формул	Учите формулы. Анализируйте постановку задач.
Ошибки, допускаемые из-за незнания алгоритмов решения задач конкретного типа	Учите алгоритмы решений задач. Оформляйте решение задач так, чтобы не возникало вопросов и неясностей.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Если мы видели дальше других,

то это потому, что стояли на плечах гигантов.

И. Ньютон

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш.Кремер. – М. : Юнити, 2006. – 573 с.
Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением EXCEL / Г.В.Горелова, И.А. Кацко. – Ростов н/Д. : Феникс, 2005. – 477 с.
Богатов Д.Ф. Конспект лекций и практикум по математике для юристов / Д.Ф. Богатов, Ф.Г.Богатов. – М. : ПРИОР, 2003. – 442 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е.Гмурман. – 3-е изд. – М. : Высшая школа, 1979. – 250 с.
Математика: краткий курс теории вероятностей. – Современный гуманитарный университет. – М. : Юнита 4, 1998. – 92 с.
Жалдак М.И. Теория вероятностей с элементами информатики / М.И. Жалдак, А.Н.Квитко. – Киев. : Высшая школа, 1989. – 261 с.

<предыдущая страница