Примеры решения задач

Задача 1. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого равно 5 мм, заряжен до разности потенциалов 6 кВ. Площадь пластин конденсатора равна 12,5 см², пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами:

1. 
   конденсатор остается соединенным с источником напряжения;
   
2. 
   перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения.
   

Найти:

а) изменение емкости конденсатора;

б) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов;

в) изменение объемной плотности энергии электрического поля.

Решение задачи проведем отдельно для 1 –го и 2 –го случая.

1-й случай: конденсатор остается соединенным с источником напряжения.

Дано: Решение:

1. Сделаем пояснительный чертеж

+

-

d₁

+

-

+

-

d₂

+

-

2. При раздвижении пластин конденсатора, присоединенного к источнику тока, разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника.

. (1)

Так как

, (2)

(3)

, (4)

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора, а следовательно, и заряд на его пластинах, и напряженность поля конденсатора.

Это приводит к изменению потока напряженности:

, (5)

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля:

. (6)

3. 
   Пользуясь формулами (2)-(6), легко определить изменение величин: емкости, потока напряженности сквозь площадь электродов, объемной плотности энергии электрического поля. Все величины, характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d₁ обозначаем с индексом “1”, а с расстоянием d₂ – с индексом “2”. Получим следующие расчетные формулы:
   

; (7)

; (8)

(9)

3. 
   Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет значений искомых величин:
   

;

3. 
   Раздвижение пластин конденсатора при приводит к уменьшению электроемкости (), заряда на пластинах (), энергии электрического поля конденсатора ( ) и потока вектора напряженности через площадь пластин (). За счет работы внешних сил и уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка).
   

Ответ: , , .
2-й случай: перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения.
Дано: Решение:

+

-

+

-

+

-

+

-

1. Сделаем пояснительный чертеж.

1. 
   При раздвижении пластин конденсатора, отключаемого от источника тока, заряд на пластинах измениться не может:
   

. (1)

Так как

(2); (3); (4); (5),

то при этом изменяется электроемкость конденсатора, а следовательно, и разность потенциалов между пластинами. Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной:

2. 
   Пользуясь формулами (1) – (5), запишем:
   

;

4. ;.

5. Раздвижение пластин конденсатора при приводит к уменьшению электроемкости () и увеличению разности потенциалов между пластинами (). Поток вектора напряженности и объемная плотность энергии конденсатора остаются постоянными (). Энергия электрического поля конденсатора (поле однородное) при этом возрастает (V₂>V_1,W₂>W₁). Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин.

Ответ: , , .

Задача 2. Какие изменения произойдут, если в заряженный плоский конденсатор поместить два диэлектрика с (рис.13)?

Рассмотрим случай, когда помещение диэлектрика можно произвести при вертикальном заполнении пластин.

ε₁



ε₂




U

Рис.13

1. Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух конденсаторов, соединенных параллельно (рис.14).


ε₁

C₁




ε₂




C₂


U

Рис.14.

, где , (1) а . (2)

.

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором.

, . (3)

При таком заполнении электроемкость увеличивается в раз.

2. Определим, как перераспределится заряд на конденсаторах.

Первоначальный заряд q₀ определим из определения электроемкости.

=>

В связи с тем, что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока, то, по закону сохранения заряда, этот заряд q₀ перераспределится между двумя конденсаторами и при одинаковом на них напряжении.

,



причем

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика, тем больший заряд будет на этом конденсаторе.

и

3. В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится.

=> и .

Подставим (3) и получим:

, где .

.

Напряжение увеличится в раз.

4. Рассмотрим, изменится ли напряженность электростатического поля в батарее конденсаторов.

Первоначально напряженность поля равна:

, .

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в раз больше первоначальной.

5. Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится:

, но первоначально , поэтому .

Поток вектора напряженности увеличится в раз.

3. 
   Оценим энергию поля.
   

Первоначально объемная плотность энергии электрического поля

, т.к. был задан воздушный конденсатор.

Теперь плотность энергии каждого конденсатора:

.

.

Полная энергия:

.

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках.

Ответ: полная энергия увеличится.

Задачи для самостоятельного решения

1. 
   Какой заряд надо сообщить шару диаметром 18 см, находящемуся в масле, чтобы изменить его потенциал на 400 В?
   
2. 
   Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см² и расстояние между ними 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов 300 В. После отключения конденсатора от источника напряжения, пространство между пластинами заполняется эбонитом. 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения? 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения? 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения?
   
3. 
   Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см² и расстояние между ними 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов 300 В, пространство между пластинами заполняется эбонитом. 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения? 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения? 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения?
   
4. 
   Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на расстоянии 1 см друг от друга, приложена разность потенциалов 300 В. В пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла толщиной 0,5 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 0,5 см. Найти: 1) напряженность электрического поля в каждом слое, 2) падение потенциала в каждом слое, 3) емкость конденсатора, если площадь пластин 100 см² , 4) поверхностную плотность заряда на пластинах.
   
5. 
   Между пластинами плоского конденсатора 3, находящимися на расстоянии 1 см друг от друга, приложена разность потенциалов 100 В. К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического бромистого талия ( = 173) толщиной 9,5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают. Какова будет после этого разность потенциалов между пластинами конденсатора?
   
6. 
   Найти емкость системы конденсаторов. Емкость каждого конденсатора равна 0,5 мкФ (рис.15).
   

С₁

С₃

С₂

<предыдущая страница | следующая страница>