Арифметическая прогрессия

Примеры решения задач:

Задача1:Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288м².Приобретая опыт, студенты в каждый следующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м² больше чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобиться еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки хватает на 1,2 м² пола, а для замены некачественных плиток понадобиться 3 коробки?

Решение:По условию задачи понятно ,что речь идет об арифметической прогрессии в которой пусть

а₁=х, S_n=288, n=16

Тогда используем формулу: S_n= (2а₁+d(n-1))*n/0.8⁶=200мм рт. ст.

288=(2х+2*15)*16/2

2х+30=36

х=3

Расчитаем, сколько м² выложат студенты за 11 дней: S₁₁=(2*3+2*10)*11.2=143м ²

288-143=145м²осталось после 11 дней работы,т.е. на 5дней

145/1,2=121(приближенно) коробок нужно заказать на 5 дней.

121+3=124 коробки нужно заказать с учетом брака

Ответ:124 коробки

Задача2:После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в немвоздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.

Решение:Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха ,то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде послеочередного движения поршня , нужно давление предыдущего движения поршня уиножить на 0,8.

Мы имеем геометрическую прогрессию ,первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде (в мм. рт. ст. ) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно 760*0.8⁶=200мм.рт. ст.

Ответ:200 мм.рт.ст.

Геометрические прогрессии

    Геометрической прогрессией называется такая последовательность чисел , что каждый следующий ее элемент получается из предыдущего умножением на некоторое фиксированное число , называемое знаменателем прогрессии.
    Приведем еще три важные формулы, касающиеся геометрической прогрессии, которые необходимо знать наизусть:
    1. Формула -го члена (общего члена прогрессии) .
    2. Формула суммы первых членов прогрессии: . При принято говорить о сходящейся геометрической прогрессии; в этом случае можно вычислить сумму всей прогрессии по формуле .
    3. Формула "среднего геометрического": если , , - три последовательных члена геометрической прогрессии, то в силу определения имеем соотношения: или или .

    Пример 1. Найти 4 числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой сумму крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72.

    Решение. Запишем условие задачи. Имеются четыре числа: , , , . Известно, что и . Воспользовавшись формулой общего члена геометрической прогрессии, получим, что и . Из второго уравнения , что можно подставить в первое уравнение и получить: , откуда следует квадратное уравнение , корнями которого являются числа 24 и 3. Находя (что очевидно), мы получим два набора чисел - первый начинается с 24: и соответствует , , второй - (, ).
    (То, что один набор числе образует две прогрессии - со знаменателями и - обычная в подобных задачах ситуация).

    Пример 2. Имеется шесть последовательных членов геометрической прогрессии. Сумма первых трех в восемь раз меньше суммы последних трех. Найти знаменатель геометрической прогрессии.

    Комментарий. Поскольку прогрессия определяется двумя параметрами, а в задаче только одно условие, мы сможем найти только знаменатель.
    Решение. Запишем условие задачи: , выразим все числа с помощью формулы общего члена прогрессии: откуда после сокращения и .
    Ответ: .

    Пример 3. В геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 9, а сумма первых шести членов равна -63. Найти сумму первых десяти членов прогрессии.

    Комментарий. На самом деле мы сделаем больше - мы просто найдем и первый член - и знаменатель - этой прогрессии. Тем самым мы, как принято говорить, "зададим" или "построим" ее. Как результат - мы сможем найти все, что только нас спросят про эту прогрессию, в том числе и сумму первых десяти ее членов. Заметим, что два условия позволяют определить два параметра. Задача предлагалась абитуриентам Воронежского Государственного Университета.
    Решение. Нам пригодится то, что было проделано в предыдущем примере. ; , откуда и в качестве следствия из предыдущего примера получим . Найдем теперь : и откуда окончательно: .