9.1 Геометрические характеристики простых сечений

Вид сеченияКоордината ц.т.I_xcI_ycI_xc,yc центробежн момент ин-иПримечания000

9.2 Параллельный перенос осей

y₁

y
x

b

y

x

a

x₁


Рис. 9.2 Параллельный перенос осей

Дано: F, a, b, I_x, I_y, I_xy; (рис. 9.2)

Найти: I_x1, I_y1, I_x1y1;

Решение:

Если оси x и y  центральные, то Sx=Sy=0 и формулы имеют вид:

В общем виде формулы параллельного переноса имеют вид:

n  число составных частей

9.3 Поворот осей

Рис. 9.3 Поворот осей
Дано: I_x, I_y, I_xy,  (рис. 9.3)

Найти:I_x1, I_x2, I_x1y1

Решение:

Исследуем на экстремум I_x1

- ось максимума

- ось минимума

- сумма осевых моментов инерции при повороте осей инвариантна (=const)

Оси, относительно которых центробежный момент равен 0, называются главными. Моменты инерции относительно этих осей принимают максимальные и минимальные значения:

, - главные моменты инерции

Главные оси, u, v, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными.

Главные центральные моменты сечения:

Если сечение обладает симметрией, то оси симметрии и являются главными осями.

10. Изгиб. Расчеты на прочность и жесткость при изгибе

10.1 Чистый изгиб

Расчетные формулы для определения нормальных напряжений при изгибе обычно выводят из рассмотрения плоского чистого изгиба, который является наиболее простым случаем изгиба (рис.10.1).

Рис. 10.1 Плоский чистый изгиб

Чистый изгиб – такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты М_х, а Q=0.

Чистый изгиб характерен тем, что из шести компонентов внутренних усилий только изгибающий момент не равен 0, а поперечные и нормальные силы отсутствуют. Для тех участков стержня, где соблюдается это условие, изгибающий момент остается постоянным (М = const). Изгибающий момент численно равен сумме моментов всех внешних сил, действующих на отсеченную часть балки относительно оси Ох. Эпюра изгибающих моментов строится на сжатом волокне. При этом изгибающий момент в балках считается положительным, если сжаты верхние волокна, т. е. элемент изгибается выпуклостью вниз.

Рассмотрим три стороны задачи об изгибе:

1. Статическая сторона задачи:

Условия чистого изгиба могут возникать при различных внешних нагрузках. Характерный пример показан на рисунке (простейший двухопорный стержень, нагруженный силами Р) (рис. 10.2).

M

Чистый изгиб

Рис. 10.2 Напряжения при чистом изгибе

Рассмотрим условие равновесия, связывающее напряжения и внутренние усилия в поперечном сечении балки (рис. 10.3), опуская индекс x y момента, получим

(1)

(2)

(3)

(4)



Рис. 10.3 Поперечное сечение балки
2. Геометрическая сторона задачи:

При изгибе под действием моментов М ось балки искривляется (установлено экспериментально).

Рис. 10.4 Сетка, предварительно нанесенная на балку

Наблюдая за деформацией сетки, предварительно нанесенной на балку (рис. 10.4), можно заметить, что продольные линии при чистом изгибе искривляются по дуге окружности, контуры поперечных сечений остаются плоскими кривыми, пересекая продольные линии под прямыми углами (рис. 10.5). Это говорит о том, что при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими и, поворачиваясь, становятся нормальными к изогнутой оси балки.

Фактически это есть доказательство того, что все сечения однородной балки при чистом изгибе не искривляются, а лишь поворачиваются. Это утверждение, будучи точным, для чистого изгиба, в общем случае является приближенным и именуется гипотезой плоских сечений (Бернулли).

Рис. 10.5 Деформация участка балки при чистом изгибе

Поворот плоских поперечных сечений одного относительно другого является результатом образования деформаций при чистом изгибе.

В сжатой области (сверху) волокна укорачиваются, а в зоне растяжения удлиняются. Зона растяжения в сечении балки разделяются нейтральным слоем с радиусом кривизны ρ. Длина нейтрального слоя при изгибе остается неизменной.

Рассмотрим два смежных сечения a и b, расположенных между собой на расстоянии dz (рис. 10.6).

Предположим, что левая часть неподвижна, а правая поворачивается относительно левого участка.

Рис. 10.6 Поворот правого участка относительно левого

При чистом изгибе найдем из рассмотрения деформации участка балки длиной dz относительное удлинение некоторого волокна, находящегося на расстоянии у от нейтрального слоя

(5) -относительное удлинение участка


3. Физическая сторона задачи:

При чистом изгибе вводится предположение о ненадавливаемости продольных слоев (рис.10.7).

Рис. 10.7 Деформация участка балки длиной dz

 = 0 – касательное напряжение

0 – нормальное напряжение

Так как  = 0, то это значит, что волокна балки находятся в линейно напряженном состоянии

(6) - применяем закон Гука

4. Объединяем три стороны задачи:

(5)(6)  (7)

(7)(2)

- осевой момент инерции, зависит от формы, размеров.



(8), где ЕI_x - жесткость сечения при изгибе

Изменяется  по высоте сечения по линейному закону:

Напряжения при изгибе:

(9) – нормальные напряжения при изгибе.


Рис. 10.8 Сечение не имеющее горизонтальной оси симметрии

Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.

- осевой момент сопротивления сечения

(9)(4)

- статический момент инерции

Значит, ось х – центральная. Таким образом, центр инерции проходит через центр тяжести сечения.

- центробежный момент инерции

Через ось у проходит силовая плоскость, значит, оси x и у – главные центральные оси.

Мы получили условия существования прямого изгиба (когда деформирование бруса происходит в силовой плоскости).

Для сечений с двойной симметрией у_нижн=у_верхн=у_max

, где

- условие прочности при изгибе.



Рис. 10.9 Эпюра нормальных напряжений и сечение с горизонтальной осью симметрии
Пример (Рис. 10.10)

Подобрать номер двутавра

Рис. 10.10 Расчетная схема

Дано:

P=40 кН

A=1 м

[]=160 МПа

Решение:

Растяжение – сжатие:

Кручение:

Изгиб:

- условие «экономичности»

,

Строим эпюры Q и M (рис. 10.11)(эпюра М строится на сжатых волокнах)

Q
2P

R_A

R_B

M

Рис. 10.11 Построение эпюр Q и M

Для этого определяем реакции R_A,R_B, используя уравнения равновесия

,

,

,



,

Опасное сечение над опорой В

Двутавр №22,

Для №22 перегрузка

Пример (И-1)

Для балки (Рис. 10.12) из расчета на прочность по нормальным напряжениям подобрать сечение в двух вариантах а) двутавровое б) полый прямоугольник. Проверить прочность балки по касательным напряжениям для двух вариантов. Построить эпюру касательных напряжений для прямоугольного сечения. Определить вертикальное перемещение сечения С. сравнить вес балок с прямоугольным и двутавровым сечением.

Рис. 10.12 Прямоугольное полое сечение и расчетная схема
y

Рис.10.13 Построение эпюр Q и M

Дано:

Решение:

Y:

(у правой)

(M_D правой)

На третьем участке определяем максимум для момента:

Находим величину момента сопротивления:

1)для двутавра

подбираем номер двутавра №22 W_x.22=232·10^-6

Проверка: % (недонапряжение)

Подбираем номер двутавра №20а W_x.20а=203·10^-6

Проверка: % (перенапряжение)

Т.к. на практике допускаются перенапряжения до 5 %,

то выбираем № 22

2)для специального сечения

















м


Определим площадь этого сечения:

м²

Проверим прочность балки по касательным напряжениям для двух вариантов сечений:

1)для двутавра

м

м





Па (меньше τ_доп)

Двутавр удовлетворяет требованиям прочности

2)для прямоугольника

τ₁=0

Па

Па



Па

Па

Определим вертикальное перемещение в сечении с:

Па

Па

1-й участок

2-й участок

3-й участок

4-й участок

5-й участок

Определяем металлоемкость:

Таким образом, балка двутаврового сечения обладает меньшей металлоемкостью, чем балка в виде прямоугольника(рис.10.14 и рис.10.15).

Рис. 10.14 Эпюра касательных напряжений для прямоугольного сечения
y

_max

_max = 27.75Па

_max

Рис. 10.15 Двутаврное сечение балки


<предыдущая страница | следующая страница>