4. Деформации
Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной мере меняют свою форму(деформируются).
Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само по себе это изменение формы является, как правило, незначительным и обнаруживается в большинстве случаев только при помощи чувствительных приборов.
Рассмотрим основные виды деформации, которые учитываются при решении задач в сопротивлении материалов.
-
Абсолютная деформация
Пусть левый конец стержня зафиксирован, к обоим концам стержня приложена горизонтальная сила P (рис. 4.1).
Абсолютная деформация – это полное удлинение стержня, т.е. перемещение свободного конца стержня относительно положения этого конца в ненагруженном состоянии стержня.
P
P
l
l
l – абсолютная деформация
Рис. 4.1 Растяжение стержня
-
Относительная деформация

- относительная деформация (вдоль оси х -
x,
вдоль оси y - y)
Закон Гука для линейных деформаций

, где
Е – модуль Юнга или модуль упругости I-го рода, для стали E
ст = 210
5 МПа
-
Относительная угловая деформация
- относительный угол деформации, равен изменению прямого угла при приложении нагрузки.
dy+dy
Рис. 4.2 Относительная угловая деформация
Закон Гука для угловых деформаций
где G – модуль сдвига или модуль упругости II-го рода
Упругие постоянные материала связаны зависимостью:
где - коэффициент Пуассона.
Он равен отношению поперечной деформации
бруса к продольной деформации
, взятого по модулю.
стали = 0,25 –0,35
5. Основные гипотезы, допущения, принципы, принимаемые в курсе сопротивления материалов
Методы расчета на прочность и жесткость конструкции в сопротивлении материалов основаны на применении следующих гипотез и допущений.
-
Материал конструкции считается сплошным и однородным. Атомистическая теория строения вещества в расчет не принимается.
Исключение: допущение неприемлемо при рассмотрении усталостной природы разрушения металлов.
-
Материал конструкции считается анизотропным, то есть обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях.
Исключение: дерево, прокатный материал.
-
Материал конструкции подчиняется закону Гука

для линейных деформаций;

при деформациях сдвига.
-
Материал тела считается абсолютно упругим.
-
Поперечные и нормальные к оси сечения бруса до приложения нагрузки остаются плоскими и нормальными после приложения нагрузки (Гипотеза Бернулли или гипотеза плоских сечений).
P
q
= 1 +2 +3
-
Принцип суперпозиции. Результат действия на конструкцию суммы нагрузок равен сумме результатов действия каждой нагрузки отдельно (рис. 5.1).
M
P
1 – перемещение под действием силы P
2 – перемещение под действием распределенной нагрузки q
q
M
3 – перемещение под действием момента М
Рис. 5.1 Принцип суперпозиции
q
Q
-
Принцип Сен-Венана. На расстоянии равном размеру поперечного сечения бруса способ приложения нагрузки не оказывает влияния на напряженно деформированное состояние бруса (рис. 5.2).
Рис. 5.2 Принцип Сен-Венана
-
Деформации конструкции малы и не влияют на взаимное положение точек приложения внешних сил и изменение размеров конструкции.
6. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии
Растяжение – такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникают только нормальные силы N, а все остальные внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.
Приложение нормальных сил к стержню может быть различным, но в любом случае система внешних сил образует равнодействующую Р, направленную вдоль оси стержня, то есть во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N, равные силе Р: N=P.
При расчетах в сопротивлении материалов сжатие отличается от растяжения формально только знаком силы N.
Таким образом, при рассмотрении задач сохраняется единство подхода к вопросам растяжения и сжатия.
Если для нагруженного по концам растянутого однородного стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, то такое напряженное состояние называется однородным.
Рассмотрим задачу о распределении напряжений
и
при растяжении (сжатии) в поперечном сечении стержня (рис. 6.1).
Три стороны задачи о растяжении и сжатии стержня.
1. Статистическая сторона задачи
P
Краевой эффект
z
Рис. 6.1 Растяжение стержня
Mкр = Qx = Qy = Mx = My = Mz=0

(1)

(2)
2. Геометрическая сторона задачи
Применим гипотезу плоских сечений:
Волокна при растяжении (сжатии) по высоте в поперечном сечении бруса деформируются одинаково
(3).
Выделим два сечения стержня до приложения нагрузки и рассмотрим их положение в нагруженном состоянии (рис. 6.2).
a
1
b1
a b
aabb до приложения нагрузки
a b
b1
a1
a1a1b1b1 при нагружении
Рис. 6.2 Деформация стержня
3. Физическая сторона задачи
Заключается в применении закона Гука.

(4) где
-
относительная деформация,
Е – модуль упругости 1 рода = 210
5 МПа
Объединяем все три стороны задачи

(5)
подставляем в интеграл (2)

=>

(6)
- нормальное напряжение
Найдем растяжение стержня при удлинении, сжатии.
Рис. 6.3 Нормальное напряжение при растяжении
EF – жесткость бруса при растяжении, сжатии.
Абсолютная деформация бруса длинной l=dz равна

где
l – абсолютная деформация.
Условия прочности:

- допускаемое нормальное напряжение.
Материалы
Пластичные материалыХрупкие материалы
- предел текучести материала
- предел прочности материалаn – коэффициент запаса прочности
n – вводится по следующим причинам:
-
неточное определение внешних нагрузок
-
приближенные методы расчета
-
отклонения в размерах деталей
-
разброс в механических характеристиках материала.
Для хрупких материалов n больше чем для пластичных материалов, так как у хрупких материалов большая неоднородность структуры.
если N(z) = const, F(z) = const
Условие жесткости l [l]
<предыдущая страница | следующая страница>