4. Деформации

Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной мере меняют свою форму(деформируются).

Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само по себе это изменение формы является, как правило, незначительным и обнаруживается в большинстве случаев только при помощи чувствительных приборов.

Рассмотрим основные виды деформации, которые учитываются при решении задач в сопротивлении материалов.

1. 
   Абсолютная деформация
   

Пусть левый конец стержня зафиксирован, к обоим концам стержня приложена горизонтальная сила P (рис. 4.1).

Абсолютная деформация – это полное удлинение стержня, т.е. перемещение свободного конца стержня относительно положения этого конца в ненагруженном состоянии стержня.

P

P

l

l

l – абсолютная деформация

Рис. 4.1 Растяжение стержня

1. 
   Относительная деформация
   

 - относительная деформация (вдоль оси х - _x,

вдоль оси y - _y)

Закон Гука для линейных деформаций

, где Е – модуль Юнга или модуль упругости I-го рода, для стали E_ст = 210⁵ МПа

1. 
   Относительная угловая деформация
   

 - относительный угол деформации, равен изменению прямого угла при приложении нагрузки.

dy+dy

Рис. 4.2 Относительная угловая деформация
Закон Гука для угловых деформаций

где G – модуль сдвига или модуль упругости II-го рода

Упругие постоянные материала связаны зависимостью:

где  - коэффициент Пуассона.

Он равен отношению поперечной деформации бруса к продольной деформации , взятого по модулю.

_стали = 0,25 –0,35

5. Основные гипотезы, допущения, принципы, принимаемые в курсе сопротивления материалов

Методы расчета на прочность и жесткость конструкции в сопротивлении материалов основаны на применении следующих гипотез и допущений.

1. 
   Материал конструкции считается сплошным и однородным. Атомистическая теория строения вещества в расчет не принимается.
   

Исключение: допущение неприемлемо при рассмотрении усталостной природы разрушения металлов.

1. 
   Материал конструкции считается анизотропным, то есть обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях.
   

Исключение: дерево, прокатный материал.

1. 
   Материал конструкции подчиняется закону Гука
   

 для линейных деформаций;

 при деформациях сдвига.

1. 
   Материал тела считается абсолютно упругим.
   
2. 
   Поперечные и нормальные к оси сечения бруса до приложения нагрузки остаются плоскими и нормальными после приложения нагрузки (Гипотеза Бернулли или гипотеза плоских сечений).
   

P

q

 = ₁ +₂ +₃

6. 
   Принцип суперпозиции. Результат действия на конструкцию суммы нагрузок равен сумме результатов действия каждой нагрузки отдельно (рис. 5.1).
   

M

P
₁ – перемещение под действием силы P

₂ – перемещение под действием распределенной нагрузки q

q

M

₃ – перемещение под действием момента М


Рис. 5.1 Принцип суперпозиции

q



Q

7. 
   Принцип Сен-Венана. На расстоянии равном размеру поперечного сечения бруса способ приложения нагрузки не оказывает влияния на напряженно деформированное состояние бруса (рис. 5.2).
   

Рис. 5.2 Принцип Сен-Венана

7. 
   Деформации конструкции малы и не влияют на взаимное положение точек приложения внешних сил и изменение размеров конструкции.
   

6. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии

Растяжение – такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникают только нормальные силы N, а все остальные внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.

Приложение нормальных сил к стержню может быть различным, но в любом случае система внешних сил образует равнодействующую Р, направленную вдоль оси стержня, то есть во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N, равные силе Р: N=P.

При расчетах в сопротивлении материалов сжатие отличается от растяжения формально только знаком силы N.

Таким образом, при рассмотрении задач сохраняется единство подхода к вопросам растяжения и сжатия.

Если для нагруженного по концам растянутого однородного стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, то такое напряженное состояние называется однородным.

Рассмотрим задачу о распределении напряжений и при растяжении (сжатии) в поперечном сечении стержня (рис. 6.1).

Три стороны задачи о растяжении и сжатии стержня.

1. Статистическая сторона задачи

P

Краевой эффект

z

Рис. 6.1 Растяжение стержня

M_кр = Q_x = Q_y = M_x = M_y = M_z=0

(1)

(2)













2. Геометрическая сторона задачи

Применим гипотезу плоских сечений:

Волокна при растяжении (сжатии) по высоте в поперечном сечении бруса деформируются одинаково (3).

Выделим два сечения стержня до приложения нагрузки и рассмотрим их положение в нагруженном состоянии (рис. 6.2).

a₁

b₁

a b

aabb до приложения нагрузки

a b

b₁

a₁

a₁a₁b₁b₁ при нагружении

Рис. 6.2 Деформация стержня

3. Физическая сторона задачи

Заключается в применении закона Гука.

(4) где  - относительная деформация,

Е – модуль упругости 1 рода = 210⁵ МПа

Объединяем все три стороны задачи

(5)

подставляем в интеграл (2)

=>

(6)  - нормальное напряжение

Найдем растяжение стержня при удлинении, сжатии.

Рис. 6.3 Нормальное напряжение при растяжении

EF – жесткость бруса при растяжении, сжатии.

Абсолютная деформация бруса длинной l=dz равна

где l – абсолютная деформация.



Условия прочности:

- допускаемое нормальное напряжение.

Материалы

Пластичные материалыХрупкие материалы - предел текучести материала - предел прочности материалаn – коэффициент запаса прочности

n – вводится по следующим причинам:

• 
  неточное определение внешних нагрузок
  
• 
  приближенные методы расчета
  
• 
  отклонения в размерах деталей
  
• 
  разброс в механических характеристиках материала.
  

Для хрупких материалов n больше чем для пластичных материалов, так как у хрупких материалов большая неоднородность структуры.

если N(z) = const, F(z) = const

Условие жесткости l  [l]

<предыдущая страница | следующая страница>