О двойственности в решении уравнений Ферма

В Интернете приведена статья автора «Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде с помощью методов элементарной математики» http://revolution.allbest.ru/mathematics/00007650.html и https://teoremaferma.narod.ru/

В этой статье упоминается о двойственности решений уравнений Ферма, выявленной при вероятностном подходе к оценке теоремы и заключающемся в наличии при n>2 целых Z при извлечении корней из Zⁿ . Настоящая статья посвящена более подробному рассмотрению этого вопроса.

Принятое в методике доказательство основано на разложении уравнений Ферма

xⁿ+(x-aⁿ)=(x+b)ⁿ

по биному Ньютона. Уравнение решается относительно X и приводится к выражению:

X=2na+P(a,n)/x^n-1, где 2na – целое число, а P(a,n)/x^n-1 нецелая добавка. Доказательство проводится при условии a=b=1, а результат распространяется на всю область существования условий Ферма, т.е. целые и нецелые результаты, полученные при a=b=1, остаются целыми или нецелыми, кратными числам 2,3,4 и т.д. Решение задачи при a=b=1 требует введения нецелых поправок  для согласования (равенства) левых и правых частей в уравнениях Ферма. Эти поправки составляют:

Для n=3 при x=2n=6, y=x-1=5 и z=x+1=7, =0,055(5)

Для n=4 при x=8, y=7 и z=9, =0,125

Для n=5 при x=10, y=9 и z=11, =0,200

Введение нецелых поправок обеспечивает равенство левых и правых частей в уравнениях

xⁿ+yⁿ=zⁿ (1), что и доказывает теорему при a=b=1.

Однако последующее исследование пределов изменения поправок  (0<1 существует вероятность P, при которой Z должно быть целым числом. Если это подтвердится расчетом хотя бы в одном случае, теорему Ферма следует считать недостоверной. Попытаемся доказать это на примере для степени n=4, при a=b=64. Предварительно отметим, что вероятностная оценка позволяет рассчитывать вероятность (частость) по формуле P=1/x^n-1, где 1 – одиночное событие (наличие целого z); x^n-1 – МОЖ, математическое ожидание этого события (артиллерийский термин). С ростом X и n P резко убывают, а МОЖ – возрастает. Для n=4 МОЖ = 8³=512 В связи с тем, что МОЖ относительно большое число, для получения в расчетах минимальных целых чисел следует, заменить МОЖ меньшими, кратными ему числами.

Для получения результатов в целых числах следует, умножив нецелые числа x,y и z на кратное МОЖ число 64, получить результат: x=8,125 *64=520; y=7, 125*64=456; z=9, 9,125*64=584. Мы получили решение уравнения Ферма в целых числах при прежнем согласовании левых и правых частей уравнения (1).

Аналогично для степени n=5 имеем: 10,200*10=102; 9,200*10=92; 11,200*10=112. Получен второй случай решения уравнений Ферма в целых числах. При n=3 целого решения нет из-за того, что =0,55(5) является иррациональным числом, к которому подобрать целое число для компенсации иррациональности потребуется число, превышающее предел точности расчетов хотя бы на один порядок.

Исследования показывают, что наличие целых решений зависит от деления целых чисел в числителях на знаменатели, состоящие только из чисел, кратных 2^M и 5^H или их сочетаний, например: 0,125=1/2³, 0,200=1/5, 1/40=1/5*2³ и др.

В первой числовой сотне насчитывается порядка 13% таких чисел, которые резко убывают с ростом числового ряда. Наибольшее число их содержится в первом десятке (50%).

Из изложенного напрашивается вывод: При решении уравнений Ферма xⁿ+yⁿ=zⁿ во всех степенях n могут получаться решения как при нецелых, так и при целых . Частость получения решений в целых числах определяется вероятностью P=1/x^n-1 и наличием конечных поправок  для обеспечения равенства между левыми и правыми частями уравнений Ферма.