11.1. Скалярные и векторные величины. Определения.
Величины называются скалярными, если они после выбора единицы измерения полностью характеризуются одним числом. Примеры: угол, поверхность, объём, масса, плотность, электрический заряд, сопротивление, температура. обозначается f.
Векторная величина зависит от двух элементов разной природы: алгебраического элемента – числа, измеряющего длину (модуль) вектора, и геометрического элемента – направления вектора. Единичный вектор (орт) – это вектор, модуль которого равен единице. Два одинаково направленных и равных по длине вектора называются эквиполентными. Векторы, расположенные на параллельных прямых, называются коллинеарными. Угол между двумя векторами
и 
– это угол, не превосходящий , на который нужно повернуть вектор , чтобы совместить его с вектором, эквиполентным , начало которого совпадает с началом вектора . Угол обозначается (, ).
11.2. Системы координат
Пусть хх – ось. Вращение относительно оси хх называется положительным или прямым, если для наблюдателя в конце оси оно осуществляется против часовой стрелки. Пусть Oxyz – тройка векторов. Она называется правой, если движение от оси Ox к оси Oy относительно оси Oz происходит в положительном направлении. Тройки Oxyz, Oyzx, Ozxy являются правыми, а Oyxz, Oxzy, Ozyx – левыми. Одна перестановка букв меняет тройку, две перестановки – не меняют.
применяются различные системы координат: прямолинейные и криволинейные; ортогональные и неортогональные. Остановимся на применении только прямолинейных ортогональных систем координат: 1) декартовой системы координат (рис. 11.1,а); 2) цилиндрической системы координат (рис. 11.1,б); 3) сферической системы координат (рис. 11.1,в).
Соотношения между координатами различных систем:
r =
; r =
; = arctg(y/x); = arcsin(r/R).
Положение произвольной точки М пространства задается тремя координатами выбранной системы координат:
- в декартовой – координатами x, y, z, краткая запись имеет вид М(x, y, z);
- в цилиндрической – М(r, , z);
- в сферической – М(R, , ).
Для ориентировки в пространстве, указания направления перемещения для каждой системы координат используются единичные векторы (орты):
-
для декартовой –
, 
, 
;
-
для цилиндрической –
, 
, 
;
-
д
ля сферической –
, 
, .
Отметим, что координата цилиндрической и сферической систем ко-ординат отсчитывается против часовой стрелки в горизонтальной плоскости от основного направления, которое указывается произвольно. В предлагае-мом изложении основное направление совмещено с осью Ох прямоугольной системы координат. Координата отсчитывается от основного направления на полюс (от направления оси z в предлагаемом изложении).
11.3. Операции над векторами
Произведение вектора
на скаляр f. Результат умножения – вектор с модулем, равным fа, параллельный вектору , направленный в ту же сторону, что и , при положительном f и в противоположную – при отрицательном f.
Составляющие вектора. Пусть
, 
, 
– геометрические проекции (компоненты) вектора на оси прямоугольных координат. Тогда
= + + = ·ах +·ау + ·аz.
Числа ах, ау, аz называются составляющими, проекциями, координатами вектора относительно соответствующих осей координат.
Сложение векторов. Сумма нескольких векторов определяется следую-щим образом. Из конца первого вектора проводится второй вектор, из конца второго – третий и т.д. Вектор, проведенный из начала первого вектора в ко-нец последнего является суммой. Векторное сложение записывается в виде:
= + + 
+ … + 
.
Операция сложения векторов коммутативна, то есть +=+, и ассоциативна, то есть + ( + ) = ( + ) + .
Составляющая по некоторой оси Ox вектора суммы векторов , , … , равна сумме составляющих этих векторов относительно той же оси: sх = ах+bх+…+рх.
Скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов и – это число, равное произведению трёх величин a, b и соs(,); оно обозначается ·. Скалярное произведение коммутативно: ·=· и дистрибутивно: (+)· = ·+·. Вопрос об ассоциативности скалярного произведения отпадает, так как формула (·)· не имеет смысла.
Следствие 1. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Если угол между векторами тупой, скалярное произведение отрицательно, если угол острый – положительно.
Следствие 2. Пусть 
– единичный вектор некоторой оси хх. Тогда скалярное произведение любого вектора на равно проекции вектора на ось хх: · = a·соs(,).
Следствие 3. Скалярное произведение двух векторов равно произведе-нию модуля одного вектора на проекцию другого вектора на первый:
· = ||·пра = ||·прb.
Следствие 4. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату модуля этого вектора: · = а2.
Следствие 5. Если , , – орты осей координат, то
· = · = · = 0, · = · = · = 1.
Следствие 6. Скалярное произведение в декартовых координатах:
· = (·ах +·ау +·аz)·(·bх +·bу +·bz) = ах·bх + ау·bу + аz·bz.
Следствие 7. Выражение для косинуса угла между двумя векторами и через проекции этих векторов:
соs(
,) =
.
Векторное произведение. Векторным произведением двух векторов
и называют вектор , длина которого равна a·b·sin(,) и который перпендикулярен обоим векторам и , причем векторы , и образуют правую тройку. Векторное произведение обозначают = или [·] =.
Следствие 1. Если векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы параллельны.
Модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .
= =
= 
(aybz – azby) + (azbx – axbz) + (axby – aybx).
Следовательно, сx = aybz – azby , сy = azbx – axbz, сz = axby – aybx.
Векторное произведение антикоммутативно, то есть = -.
Векторное произведение не ассоциативно: () ().
Векторное произведение дистрибутивно, то есть
(+)=+.
Следствие 2. Векторные произведения ортов координатных осей равны:
= , = , = .
Смешанное произведение трёх векторов. Смешанным произведением трёх векторов называется скаляр ·() =
.
Смешанное произведение трёх векторов численно равно объёму параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах.
Следствия.
·() = ·() = ·(), ·() = ()·.
Двойное векторное произведение трёх векторов. Оно выражается формулой
() = (·)·– (·)·.
11.4. Дифференциальные операции с векторами
Производная вектора. Производная точки. Пусть вектор
является функцией переменной t: (t). Дадим переменной t приращение t и рассмотрим вектор = (t+t) – (t). Если при t, стремящемся к нулю, модуль вектора стремится к нулю, то (t) есть непрерывная функция от t. Предел отношения 
называется производной вектора (t) по t и обозначается: 
или (t). Она равна =
+
+
.
Если каждому значению переменной t соответствует точка простран-ства М, то говорят, что точка М есть функция от t: М(t). Дадим переменной t приращение t и рассмотрим вектор 
=М(t+t) – М(t). Если при t0 модуль вектора стремится к нулю, то М(t) есть непрерывная функция от t. Предел отношения 
называется производной точки М(t) по t:
.
Производная вектора по другому вектору. Производной вектора
по вектору называется вектор 
=
bx +
by +
bz.
Основные формулы дифференцирования.
Производная суммы: пусть =+++…+,
тогда =+++…+.
Производная произведения вектора на число:
пусть = n·, тогда = n·.
следующая страница>