Министерство образования И науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский физико-технический институт (государственный университет)»

МФТИ (ГУ)

Кафедра «Физика полёта»

«УТВЕРЖДАЮ»

Проректор по учебной работе
О.А. Горшков

2012 г.

1. 
   Предмет и программа курса
   

Краевые задачи вычислительной аэрогидромеханики

Название курса. Наш очень быстро меняющийся мир. Вычислительная аэрогидромеханика. Закон Мура и рост возможностей ЭВМ. Рынок краевых задач. Задачи NASA и реальность. Пакет возможных задач. План курса.

2. 
   Введение в численные методы аэрогидромеханики
   

Введение в Уравнения математической физики. Концепция непрерывной среды и задачи математической физики. Классификация линейных уравнений 2-го порядка с n независимыми переменными. Корректная постановка краевой задачи. Волновое уравнение. Уравнение теплопроводности. Уравнения Лапласа и Пуассона. Уравнение Геймгольца. К.З. для уравнения гиперболического, эллиптического типа. Уравнение смешанного эллиптико-гиперболического типа (Трикоми). Приведение к каноническому виду уравнения 2 порядка с 2 независимыми переменными. Канонический вид уравнений

Метод характеристик в задачах газовой динамики. Физический смысл характеристик. Сверхзвуковые течения газа. Сведение решения задачи Коши к решению задачи на характеристиках. Характеристики дифференциального уравнения. Характеристические соотношения. Характеристические переменные. Система уравнений для плоских изоэнтропическиех сверхзвуковых течений. Поведение характеристик на звуковой линии.

ТФКП в задачах гидродинамики. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Функция Жуковского. Конформные отображения. Основные свойства конформных отображений. Основная задача теории К.О. Теорема Римана. Поток во внешности замкнутой кривой. Обтекание кругового цилиндра. Обтекание произвольного профиля. Условие Чаплыгина (Кутта-Жуковского). Обтекание профилей Жуковского

Краевые задачи теории функций. Примеры простейших полей на плоскости и в пространстве. Задача Дирихле. Задача Неймана. Функция тока. Циркуляция поля вдоль замкнутого контура. Комплексный потенциал поля. Примеры простейших полей на плоскости.

Потенциал системы замкнутых вихревых нитей, непрерывного распределения замкнутых вихревых нитей. Поле скоростей прямолинейной вихревой нити, системы нитей, непрерывно распределенных прямолинейных вихрей, круглого вихря постоянной завихренности, вихревого отрезка.

3. 
   Потенциальные течения
   

Метод дискретных вихрей (МДВ) в задачах аэродинамики. Нестационарные задачи. Машущий полет. Постановка задачи. Модель среды. Условия на вихревой пелене. Класс функций. Построение нестационарного решения. Потенциал двойного слоя и вихревые рамки. Алгоритм решения. Технология МДВ. Численная схема метода дискретных вихревых рамок. Моделирование течения в городском квартале.

К.З. для полного уравнения относительно потенциала скорости. Изоэнтропический скачок и распараллеливание задачи. Численная схема. К вопросу постановки задачи. Эллиптико-гиперболическая задача смешанного типа. Область применимости потенциального приближения. Роль отображения. Изоэнтропический скачок уплотнения и вопросы распараллеливания задачи. Постановка задачи для трансзвукового обтекания профиля. Итерационный алгоритм нахождения циркуляции. Схема расчета. Разностная аппроксимация. Алгоритм релаксации по лучам. Алгоритм расщепления по слоям. Алгоритм обращения трехдиагональной матрицы.

Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Задача с начальными условиями. Точность разностной аппроксимации (два источника ошибок). Устойчивость. Явные и неявные схемы по времени. Сходимость. Теорема Лакса.

Основы метода Монте-Карло. Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах математической физики. Вычисление интегралов разными методами. Вычисление интегралов методом Монте-Карло. Алгоритмы генерации случайных чисел Лемера, Метрополиса. Линейный гармонический осциллятор. Моделирование остывания нагретых тел. ОДУ 1-го порядка методы Эйлера и Рунге-Кутта. Моделирование радиоактивного распада и цепной реакции ядерного взрыва.

Вопросы ускорения сходимости. Метод Неймана анализа устойчивости разностных схем. Алгоритм замораживания дальнего поля. Алгоритм удвоения сеток. Анализ сходимости алгоритма релаксации по лучам.

Нестационарная задача трансзвуковой аэродинамики. Особенности трансзвукового обтекания. История вопроса. Классификация методов исследования. Приближение трансзвуковой теории малых возмущений: постановка задачи. Граничные условия (отражающие и неотражающие условия). Численная схема. Алгоритм расщепления. Примеры: попадание в порыв, взаимодействие с ударной волной.

Обратная задача трансзвуковой аэродинамики. Метод годографа скорости. Обратная задача как инструмент построения точных решений. Постановка задачи. Метод годографа скорости. Комплексное продолжение. Характеристические координаты. Аналогия с несжимаемым течением. Конечно-разностный метод решения. Теоремы несуществования. Решение краевой задачи Гурса на комплексных характеристиках.

4. 
   Вихревые течения
   

К.З. для уравнений Эйлера. Скачок уплотнения и порождение завихренности. Схемная вязкость. Алгоритм расщепления по физическим процессам. Вопросы ускорения сходимости. Постановка К.З. Три физических механизма порождения завихренности в рамках К.З. для уравнений Эйлера. К.З. в численной схеме. Неотражающие условия на границах расчётной области. Интеграл Крокко для стационарного течения. Неустойчивость в смысле Адамара. О корректности задачи. Расчёт отрывного обтекания в рамках КЗ для уравнений Эйлера. Алгоритм расщепления по физическим процессам. Выделение внутренней вихревой зоны в потенциальном течении. Постановка задачи. Условие Куранта-Фридрихса-Леви. Число Куранта. Явные и неявные схемы. Свойство background propagation.

Расчёт отрывного обтекания в рамках К.З. для уравнений Эйлера. Метод конечного объема. Искусственная вязкость. Численная и искусственная вязкость – нефизический механизм порождения завихренности. Вопросы ускорения сходимости. Схема Рунге-Кутта с диссипативными членами. КЗ для уравнений Эйлера и разрывы в решении. Граничные условия в численной схеме. Аппроксимация граничных условий как нефизический механизм порождения завихренности. Искусственная вязкость в схеме Джеймсона. Дискретизация уравнений.

Математическое моделирование динамики жидкости со свободной поверхностью. Уравнения «мелкой воды». Метод маркеров. К задачам пробивания. Аналогия между уравнениями движения в теории "мелкой воды" и уравнениями Эйлера для течения сжимаемого газа. Вывод уравнений мелкой воды. Эффект опрокидывания волн. Пространственный случай. Эффект волновода. Проблема цунами. Обобщение задачи на 3D. Жидкость в баке, движущемся с ускорением. Течение в канале с локальным сужением. Распространение плоской уединенной волны (солитона). Решение задачи в рамках полных уравнений. Метод маркеров. К задачам пробивания.

5. 
   Течения вязкого газа
   

Учёт вязкости в приближении пограничного слоя. 2D и 3D случаи. Случай слабых отрывов. К.З. для уравнений Прандтля. Численная схема (неявный метод Крэнка-Николсона). Исследование устойчивости с помощью фурье-моды. Итерационная процедура вязко-невязкого взаимодействия. О роли правдоподобных гипотез. Общие замечания. Критерии перехода и отрыва. Внешняя задача потенциального обтекания. Прямая задача. Обратная задача. Внутренняя задача (течение вязкого газа в пограничном слое). Прямой и обратный метод расчёта ПС. Полуобратный метод. Итерационная схема расчёта.

К.З. для уравнений Навье-Стокса. Случай двумерных течений несжимаемого газа. Ламинарные течения. Уравнения движения вязкой жидкости. Тензор скоростей деформации (тензор Н.-С.). Линейная связь между тензорами напряжений и скоростей деформаций. Уравнения Н.-С. для несжимаемой жидкости. Решение задачи в физических переменных. Существование и единственность решения. Запись уравнений в переменных w-y. Двумерный случай. Явная схема 1-го порядка точности по времени. Схема Лакса. Двухшаговая схема Лакса-Вендроффа. Двумерный случай: схема Лакса-Вендроффа. Уравнения переноса, диффузии, Хопфа, Лаверетта-Бакли.

К.З. Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона. Задача о вентиляции в рамках уравнений Н.-С. Уравнения Лапласа и Пуассона. Дискретизация уравнений. Дискретизация на основе вариационного принципа. Функционал полной энергии системы. Вариация функционала. Дискретизация выражения для полной энергии. Решение одномерной краевой задачи. Метод Гаусса-Зейделя. Численное решение двумерной задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Применение численных методов к исследованию физиологических течений. Искусственные сердечные клапаны. Местное сужение сосудов. Особенности задач биогидромеханики. Примеры отрывных течений в кровеносной системе и in vitro. Неньютоновские жидкости и гетерогенные смеси. Ламинарные течения в живом организме. К. З. для уравнений Навье-Стокса. Постановка и метод решения. Переменные w, y. Уравнение переноса завихренности. Извлечение P. Бигармоническое уравнение для y. Безразмерная форма записи. Теорема Оберкампфа. Консервативная форма записи. Особенность осесимметричного случая. Сильный и слабый законы сохранения. Свойство транспортивности. Метод донорской ячейки. Метод «последовательной перерелаксации». Решение уравнения Пуассона для P.

К.З. для уравнений Н.-С., осредненных по Рейнольдсу (RANS). Современные представления о турбулентности. Постановка задачи. Три ключевых представления о турбулентности. Математический аппарат: приближение сплошной среды, гидродинамическая неустойчивость, теория бифуркаций, странные аттракторы, фрактальность. Основные свойства турбулентности. Закон Колмогорова-Обухова. Распределения Кармана и Драйдена. Физический смысл масштаба турбулентности. Диссипация турбулентности. Ротор скорости и тензор завихренности. Задачи атмосферной аэродинамики. Двумерная турбулентность. Осреднение по Рейнольдсу. Центральная предельная теорема. Осреднение по Фавру. Гипотезы Колмогорова, Буссинеска. Приближение Буссинеска. Модели анизотропной турбулентной диффузии. Структура турбулентности и среднее течение. Эффекты релаксации. Неравновесные течения. Производство и диссипация параметров турбулентности. Общая классификация моделей турбулентности. Проблемы полуэмпирических моделей. Турбулентность и эргодичность.

Метод прямого численного моделирования крупномасштабной турбулентности (Large Eddy simulation) Постановка задачи. Подсеточные модели турбулентности. Крупномасштабная и мелкомасштабная турбулентность. Идея метода. Основные предположения. LES и DNS. Фильтрация параметров. Различные виды фильтров. Результаты фильтрации случайного сигнала с заданным спектром. Свойства осреднения. Отфильтрованные уравнения. Напряжения Леонарда. Модель Смагоринского. Модель длины пути смешения. Ширина фильтра. Константа Смагоринского. Коррекция у стенок с прилипанием. Две ключевые причины успеха модели Смагоринского. Динамические модели. Модель Джермано. Другие модели. RANS, LES, DES.

Прямое численное моделирование турбулентности (Direct Numerical Simulation). Проблемы методов DNS. Постановка задачи прямого численного моделирование турбулентности на основе решения полной, трехмерной, нестационарной системы уравнений Навье-Стокса. Граничные условия. Оценки возможностей и перспективы. DES=LES+RANS. Расчет турбулентных течений. Нерешенные проблемы турбулентности. Список решенных задач. Спиральность (helicity) – четвертый инвариант.