Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Уральский государственный педагогический университет»
Математический факультет

Кафедра математического анализа

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине
«Теория функций комплексного переменного»

для специальности «050201.65 – Математика»

по циклу ДПП.Ф.04 – Дисциплины предметной подготовки
(федеральный компонент)
Очная форма обучения Заочная форма обучения
Курс - 4 Курс - 4

Семестр – 7 Семестр – 8

Объем в часах всего – 126 Объем в часах всего – 126

в т.ч.: лекции – 30 в т.ч.: лекции – 8

практические занятия – 30 практические занятия – 6

самостоятельная работа – 66 самостоятельная работа - 112

Экзамен – 7 семестр Экзамен – 8 семестр

Контрольная работа – 8 семестр

Екатеринбург 2012

Рабочая учебная программа по дисциплине

«Теория функций комплексного переменного»
ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»

Екатеринбург, 2012. – 10 с.

Составители:

Бодряков В.Ю., зав. кафедрой математического анализа, д. ф.-м. н., доцент, математический факультет УрГПУ

Фомина Н.Г., ст. преподаватель кафедры математического анализа, математический факультет УрГПУ

Рабочая учебная программа обсуждена на заседании

кафедры математического анализа УрГПУ

Протокол от 05.05.2012 №8.

Зав. кафедрой Бодряков В.Ю.

Декан математического факультета Толстопятов В.П.

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа курса «Теория функций комплексного переменного» основывается на государственном стандарте подготовки специалистов по специальности «050201 – Математика». Цель преподавания курса «Теория функций комплексного переменного» заключается в систематическом изучении классических разделов теории функций комплексного переменного. Курс базируется на материале математического анализа и алгебры. Основу содержания дисциплины составляют следующие темы: введение в комплексный анализ, дифференцируемость функций комплексного переменного, степенные ряды в поле комплексных чисел, элементарные функции комплексного переменного, интегрирование функций комплексного переменного и приложения теории интеграла функций комплексного переменного.

Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью индивидуальных домашних заданий, затрагивающих все наиболее важные вопросы программы.
2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия			Самостоятельная работа
			Всего	Лекции	Практические
1.	Поле комплексных чисел. Последовательности и их пределы. Ряды комплексных чисел. Функции комплексного переменного	8	4	2	2	4
2.	Предел функции комплексного переменного, непрерывность функции комплексного переменного	16	8	4	4	8
3.	Дифференцирование функции комплексного переменного. Понятие аналитической функции	32	16	8	8	16
4.	Элементарные функции комплексного переменного и их свойства	18	8	4	4	10

5.	Интегрирование функции комплексного переменного. Теорема Коши	26	12	6	6	14
6.	Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты и их приложения	26	12	6	6	14
	Итого:	126	60	30	30	66

2.1. Учебно-тематический план заочной формы обучения

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия			Самостоятельная работа
			Всего	Лекции	Практические
1.	Поле комплексных чисел. Последовательности и их пределы. Ряды комплексных чисел. Функции комплексного переменного	12	4	2	2	8
2.	Предел функции комплексного переменного, непрерывность функции комплексного переменного	23	3	2	1	20
3.	Дифференцирование функции комплексного переменного. Понятие аналитической функции	22	2	1	1	20
4.	Элементарные функции комплексного переменного и их свойства	22	2	1	1	20
5.	Интегрирование функции комплексного переменного. Теорема Коши	22	2	1	1	20
6.	Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты и их приложения	25	1	1		24
	Итого:	126	14	8	6	112

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

1. Поле комплексных чисел. Последовательности и их пределы. Ряды комплексных чисел. Функции комплексного переменного

Понятие комплексного числа, формы представления комплексного числа. Поле комплексных чисел. Последовательности и их пределы, свойства сходящихся последовательностей. Ряды комплексных чисел. Условия сходимости числовых рядов, обобщения теорем сравнения.

2. Предел функции комплексного переменного, непрерывность функции комплексного переменного

Понятие предела комплекснозначной функции комплексного переменного, свойства пределов. Понятие непрерывности функции комплексного переменного, свойства непрерывных функций.

3. Дифференцирование функции комплексного переменного. Понятие аналитической функции

Производная функции комплексного переменного и ее свойства. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Теорема Коши – Римана – Даламбера – Эйлера. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Степенные ряды в поле комплексных чисел.

4. Элементарные функции комплексного переменного и их свойства

Линейные и дробно-линейные функции комплексного переменного. Круговое свойство. Элементарные функции комплексного переменного.

5. Интегрирование функции комплексного переменного. Теорема Коши

Определение интеграла функции комплексного переменного, его свойства. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Неравенство Коши. Теоремы Морера, Вейерштрасса, Лиувилля, основная теорема высшей алгебры. Теорема единственности.

6. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты и их приложения

Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Теорема Лорана. Изолированные особые точки, их классификация. Теорема Сохоцкого. Вычеты, методы их нахождения. Основная теорема о вычетах. Приложения теории вычетов.

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

1. 
   Темы, вынесенные на самостоятельное изучение
   

1. 
   Конформные отображения.
   
2. 
   Элементарные функции комплексного переменного и их свойства.
   
3. 
   Понятие обратной функции, многолистные функции.
   
4. 
   Ряды Тейлора для элементарных функций комплексного переменного.
   
5. 
   Логарифмический вычет.
   
6. 
   Мероморфные функции.
   

2. 
   Темы контрольных работ
   

1. 
   Непрерывность и дифференцируемость функций комплексного переменного.
   
2. 
   Вычисление интегралов функций комплексного переменного.
   

3. 
   Примерные темы курсовых работ
   

1. 
   Многолистные функции в комплексном анализе.
   
2. 
   Методы вычисления несобственных интегралов функций комплексного переменного на основе применения теории вычетов.
   
3. 
   Функция Жуковского: исследование свойств отображения, построение графиков, приложения в науке и технике.
   
4. 
   Логарифмический вычет и его использование в теории интеграла и приложениях.
   

4. 
   Вопросы для экзамена
   

1. 
   Поле комплексных чисел. Операции над комплексными числами, свойства операций, геометрическая интерпретация комплексного числа.
   
2. 
   Последовательности и их пределы. Свойства сходящихся последовательностей. Критерий Коши.
   
3. 
   Сходящиеся и расходящиеся ряды комплексных чисел. Критерий сходимости.
   
4. 
   Предел функции комплексного переменного, непрерывность функции комплексного переменного.
   
5. 
   Понятие производной и дифференциала функции комплексного переменного. Правила дифференцирования.
   
6. 
   Дифференцируемость функции комплексного переменного. Теорема КРЭДА.
   
7. 
   Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения.
   
8. 
   Степенные ряды в поле комплексных чисел. Теорема Коши-Адамара.
   
9. 
   Аналитичность суммы степенного ряда.
   
10. 
    Ряд Тейлора. Теорема единственности разложения функции в степенной ряд.
    
11. 
    Равномерная сходимость рядов в поле комплексных чисел.
    
12. 
    Линейные и дробно-линейные функции комплексного переменного. Круговое свойство.
    
13. 
    Элементарные функции комплексного переменного (определения и основные свойства). Многолистные функции.
    
14. 
    Определение интеграла функции комплексного переменного, его свойства.
    
15. 
    Сведение интеграла функции комплексного переменного к вычислению обыкновенного интеграла. Замена переменной.
    
16. 
    Интегральная теорема Коши (доказательство, основанное на формуле Грина). Схема доказательства в общем случае (доказательство Гурса).
    
17. 
    Теорема о достаточном условии существования первообразной.
    
18. 
    Теорема о составном контуре.
    
19. 
    Интегральная формула Коши.
    
20. 
    Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Неравенство Коши.
    
21. 
    Теорема Вейерштрасса.
    
22. 
    Теорема Лиувилля.
    
23. 
    Основная теорема высшей алгебры.
    
24. 
    Теорема об аналитичности дифференцируемой в области функции.
    
25. 
    Теорема Морера.
    
26. 
    Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций.
    
27. 
    Теорема единственности. Понятие аналитического продолжения.
    
28. 
    Ряд Лорана. Кольцо сходимости.
    
29. 
    Теорема Лорана.
    
30. 
    Изолированные особые точки, их классификация. Нули и полюса функции.
    
31. 
    Критерий правильности функции в точке.
    
32. 
    Теорема Сохоцкого.
    
33. 
    Понятие вычета функции в точке. Основная теорема о вычетах и ее применение к вычислению интегралов.
    
34. 
    Методы нахождения вычетов.
    
35. 
    Логарифмический вычет. Принцип аргумента.
    

5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Студент, изучивший дисциплину, должен знать основные определения и теоремы курса, предусмотренные программой.

Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:

• 
  находить пределы последовательностей в поле комплексных чисел;
  
• 
  находить пределы функций комплексного переменного;
  
• 
  находить производные и дифференциалы элементарных функций комплексного переменного;
  
• 
  вычислять интегралы функций комплексного переменного;
  
• 
  исследовать числовые и функциональные ряды в поле комплексных чисел на сходимость, равномерную сходимость, находить область сходимости степенного ряда;
  
• 
  находить разложения элементарных функций в ряды Тейлора и Лорана.
  

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

0. 
   6.1. Рекомендуемая литература
   

Основная

1.	Грищенко А.Е., Нагнибида Н.И., Настасиев П.П. Теория функций комплексного переменного. Решение задач: учеб. пособие для студентов мат. спец. вузов. М.: ЛИБРОКОМ, 2010. 336 с.	1 экз.
2.	Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ: Учеб. для студентов ун-тов по спец."Математика", "Механика". СПб.: Лань. Ч.1: Функции одного переменного. 2004. 336 с.	5 экз.
3.	Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ: Учеб. для студентов ун-тов по спец. "Математика", "Механика". СПб.: Лань. Ч.2: Функции нескольких переменных. 2004. 464 с.	5 экз.
4.	Карасев, И. П. Теория функций комплексного переменного [Электронный ресурс] / И. П. Карасев.- М.: Физматлит, 2008. - 213 с. ISBN: 978-5-9221-0960-4 Режим доступа: https://www.biblioclub.ru/book/68139/

Дополнительная

1.	Посицельская, Л. Н. Теория функций комплексной переменной в задачах и упражнениях [Электронный ресурс] учеб. пособие для студентов вузов / Л. Н. Посицельская.-М.: Физматлит, 2006. - 69 с. ISBN: 978-5-9221-0794-5 Режим доступа: https://www.biblioclub.ru/book/69323/
2.	Свешников, А. Г. Теория функций комплексной переменной [Электронный ресурс]: учеб. для студентов ; А. Г. Свешников.-6-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2010. - 334 с. ISBN: 978-5-9221-0133-2 Режим доступа: https://www.biblioclub.ru/book/75710/
3.	Геворкян, Э. А. Теория функций комплексной переменной [Электронный ресурс]: учебное пособие / Э. А. Геворкян.- М.: Моск. гос. ун-т экономики, статистики и информатики, 2004. - 164 с. Режим доступа: https://www.biblioclub.ru/book/90747/
4.	Малышева, Н. Б. Функции комплексного переменного [Электронный ресурс] / Н. Б. Малышева, Э. Р. Розендорн.-М.: Физматлит, 2010. - 167 с. ISBN: 978-5-9221-0977-2 Режим доступа: https://www.biblioclub.ru/book/68367/

6.2. Информационное обеспечение дисциплины

Цифровые образовательные ресурсы сети Интернет (в частности, сайты www.exponenta.ru; www.school-collection.edu.ru), сайт электронной библиотеки УрГПУ (http://e-lib.uspu.ru), авторские презентации лекций.

7. 
   МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
   

Карточки-задания для организации и контроля самостоятельной работы.

8. 
   СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ
   

Бодряков Владимир Юрьевич

доктор физико-математических наук

доцент

заведующий кафедрой математического анализа УрГПУ
Фомина Нина Гервасиевна

старший преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ

Р.т.: (343) 371-29-10

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине «Теория функций комплексного переменного»

для специальности «050201.65 – Математика»

по циклу ДПП.Ф.04 – Дисциплины предметной подготовки
(федеральный компонент)

Подписано в печать Формат 60х84/16

Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 0,5

Тираж экз. Заказ .

Уральский государственный педагогический университет.

620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26