5. 
   Движение заряженных частиц в электрическом поле
   

1.5.1. Электрон, обладающий нулевой начальной скоростью, попадает в однородное электрическое поле напряжённостью Е = 200 кВ/м. Какое расстояние пролетит, предоставленный самому себе электрон за время  = 1 нс? Какой скорости он достигнет?
Решение

1. Определим величину силы Кулона, действующую на электрон массой m  110 ^30 кг при попадании его в электрическое поле напряжённостью Е

, (1)

где е  1,610 ^19 Кл  заряд электрона.

2. Для электрона, который в рамках классических представлений считается частицей, справедлив второй закон Ньютона, посредствам которого можно найти ускорение частицы

. (2)

Впечатляющая величина ускорения обусловлена весьма малой массой электрона и относительно большим значением силы.

3. Путь, пройденный электроном за заданный промежуток времени найдём, используя кинематические соотношения

. (3)

4. Скорость электрона в конце заданного промежутка времени определим из закона сохранения импульса

. (4)
1.5.2. Протон и электрон необходимо разогнать до скорости v = 30 Мм/с. Какую разность потенциалов они должны при этом пройти?
Решение

1. Работа по перемещению в электрическом поле заряда в соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии равна

, (1)

где v₁ и v₂  начальная и конечная скорость частицы, m  масса частицы. Если предположить, что разгон частиц начинается из состояния покоя, то уравнение (1) можно упростить

. (1)

2. Разность потенциалов, необходимая для разгона электрона, обладающего массой m_e  10 ^{ 30} кг и зарядом е  1,610 ^19 кг

. (2)

3. Разность потенциалов, необходимая для разгона до заданной скорости протона, имеющего массу m_p  1,6710 ^{ 27} кг и заряд p  1,610 ^{ 19} Кл

. (3)
1.5.3. Между катодом и анодом разность потенциалов составляет U = 90 В, расстояние равно r = 110 ^{ 3} м. С каким ускорением а движется от катода к аноду электрон? За какое время он проходит расстояние r. Какова скорость электрона v в момент удара о поверхность анода? За какое время  электрон пролетает расстояние от катода до анода?
Решение

1. Воспользовавшись уравнением (1) предыдущей задачи, определим конечную скорость электрона перед ударом в анод

, (1)

2. Запишем кинематические уравнения движения электрона и определим время полёта электрона от катода к аноду

. (2)

3. Ускорение электрона определим из верхнего уравнения системы уравнений (2)

. (3)

1.5.4. Пылинка массой m = 110 ^{ 12} кг, несущая на себе электрический заряд в пять электронов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов U = 3 10 ⁶ В. Какова скорость и кинетическая энергия пылинки?
Решение

1. Изменение энергии пылинки, в соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии равно работе сил электрического поля

. (1)

2. Выразим энергию пылинки в электрон-вольтах

. (2)

3. Определим скорость пылинки

. (3)
1.5.5. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 0,6 МВ, приобрела скорость v = 5,4 Мм/с. Определить удельный заряд частицы (отношение заряда к массе).
Решение

1. Запишем теорему об изменении кинетической энергии частицы и определим удельный заряд

. (1)
1.5.6. Протон, начальная скорость которого была равна v₀ = 100 км/с, пройдя ускоряющее электрическое поле с напряжённостью Е = 300 В/см удвоил свою скорость. Какой путь прошёл протон, если вектор его скорости совпадал по направлению с вектором напряжённости?
Решение

1. Определим величину силы Кулона, действующей на протон, обладающий массой m = 1,6710 ^{ 27} кг и зарядом е = +1,6 ^19 Кл

. (1)

2. Запишем теорему об изменении кинетической энергии протона при прохождении им электрического поля

, (2)

и определим, пройденный протоном путь s

. (3)
1.5.7. Бесконечная плоскость заряжена отрицательно с поверхностной плотностью  = 35,4 нКл/м². В направлении силовой линии поля, созданного плоскостью движется электрон. На расстоянии y₀ = 510 ^{ 2} м электрон имел кинетическую энергию К = 80 эВ. На какое минимальное расстояние y_min электрон может приблизиться к плоскости?
Решение

1. Напряжённость электрического поля плоскости

. (1)

2. Тормозная сила, действующая со стороны электрического поля на электрон

. (2)

3. Электрон остановит своё движение в момент времени, когда работа кулоновской силы, тормозящей его движение, станет равной по величине начальной кинетической энергии, электрон, при этом пройдёт некоторое расстояние y

, (3)

(4)

4. Расстояние до пластины в момент остановки электрона определится как

. (5)
1.5.8. Электрон, летевший горизонтально со скоростью v₀ = 1,6 Мм/с, влетел в однородное электрическое поле с напряжённостью Е = 90 В/см, направленное вертикально. Определить вектор скорости электрона v через  = 1 нс?

Решение

1. В вертикальном электрическом поле на электрон будет действовать сила Кулона, которая обеспечивает ускорение, направленное по оси оy

, (1)

где е  1,610 ^{ 19} Кл  заряд электрона, m  110 ^{ 30} кг  масса электрона.

2. Поскольку проекция ускорения на ось ох равна нулю, то горизонтальное движение электрона будет протекать с начальной скоростью v₀, т.е. v_x = v₀, а вертикальная составляющая скорости будет определяться уравнением

(2)

в рассматриваемом случае, с учётом уравнения (1):

. (3)

3. Таким образом, через время  модуль скорости электрона будет равен

. (4)

4. Определим далее угол  между осью ох и вектором скорости в заданной точке траектории

. (5)


1.5.9. В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью v₀ = 2 Мм/с, направленной перпендикулярно вектору напряжённости электрического поля. На какое расстояние h сместится электрон к нижней обкладке конденсатора за время пролёта пластин конденсатора? Длина пластин составляет х = 5 см, расстояние между пластинами d = 2 см, разность потенциалов между обкладками U = 2 В.
Решение

1. Запишем кинематические уравнения движения электрона под действием постоянной силы Кулона F = eE= eU/d

(1)

2. Поскольку вдоль горизонтальной оси движение электрона происходит с постоянной скоростью, то время пролёта конденсатора можно определить как

. (2)

3. Смещение электрона по вертикали, таким образом, можно представить следующим уравнением

. (3)

4. Вертикальное ускорение электрона а определится посредствам второго закона Ньютона

. (4)

5. Подставим значение ускорения из уравнения (4) в уравнение (3)

. (5)
1.5.10. Протон и   частица из состояния покоя проходят ускоряющее электрическое поле. В каком отношении будут находиться их скорости?
Решение

1. Как известно,   частица состоит из двух протонов и двух нейтронов, поэтому заряд   частицы в два раза больше заряда протона, т.е. q_ = 2q_p, а масса  в четыре раза больше, т.е. m_ = 4 m_p.

2. При прохождении частицами одинаковой разности потенциалов  силами поля будет совершаться работа и они будут приобретать соответствующую кинетическую энергию

. (1)

5. 
   Электрический диполь. Свойства диэлектриков
   

1.6.1. Вычислить электрический момент диполя p, если его заряд равен q = 10 нКл, плечо l = 0,5 см.
Решение

1. Электрический момент диполя определяется в виде скалярного произведения модуля заряда диполя, на плечо

. (1)

1.6.2. Диполь c электрическим моментом р = 0,12 нКлм образован двумя точечными зарядами q. Определить напряжённость электрического поя Е и потенциал  в точках А и В, находящихся на расстоянии r = 8 см от центра диполя.
Решение

1. Определим напряжённость электрического поля диполя в точка А, которая отстоит от центра диполя на расстоянии r = 0,08 м, причём радиус-вектор r составляет с осью диполя угол  = /2, т.е. cos = 0

. (1)

2. Потенциал в точке А

. (2)

3. Напряжённость поля диполя в точке В

.(3)

4. Потенциал поля диполя в точке В

. (4)

1.6.3. Определить напряжённость Е и потенциал  электрического диполя с моментом р = 4 пКлм на расстоянии r = 0.1 м от центра диполя в направлении  = 60⁰ с вектором электрического момента.

Решение

1. Напряжённость электрического поля в точке А определится уравнением

, (1)

2. Потенциал диполя в заданной точке

. (2)
1.6.4. Диполь с электрическим моментом р = 1 пКлм равномерно вращается с частотой n = 10 ³ с ^{ 1} относительно оси, проходящей через центр диполя перпендикулярно своему плечу. Получить закон изменения потенциала во времени для некой точки, отстоящей от центра диполя на расстоянии r = 1 см и лежащей в плоскости диполя. В начальный момент времени потенциал равен нулю (0) = 0.


Решение

1. В данном случае вектор электрического момента, оставаясь постоянным по модулю, изменяет во времени своё положение, другими словами, величина угла  = f(t). Эти обстоятельства приводят к тому, что величина потенциала тоже станет зависимой от времени

. (1)

2. Определим амплитудное значение потенциала, которое будет иметь место при t = 0, когда cos(2n0) = 1

. (2)

3. Определим далее циклическую частоту вращения р

, (3)

и запишем уравнение потенциала, как функцию времени

. (4)

Таким образом потенциал в точке А, расположенной в плоскости вращения диполя изменяется во времени по закону косинуса.

1.6.5. Электрический диполь с моментом р = 0,1 нКлм укреплён на упругой нити. Когда в пространстве, где находится диполь, было создано электрическое поле напряжённостью Е = 3 кВ/м перпендикулярное вектору момента, диполь повернулся на угол  = 30⁰. Определить постоянную кручения нити , равную моменту закручивающей силы, отнесённому к 1 рад.

Решение

1. Определим механический момент пары сил, возникающий вследствие действия сил Кулона, приложенных к каждому из зарядов, составляющих диполь

(1)

2. Постоянная кручения, как отмечено в условии задачи представляет собой механический момент действующей пары сил, отнесённый у углу закручивания, выраженному в радианах

. (2)


1.6.6. Перпендикулярно плечу диполя с электрическим моментом р = 12 пКлм возбуждено однородное электрическое поле напряжённостью Е = 300 кВ/м. Под действием поля диполь начинает поворачиваться относительно оси, проходящей через его центр. Определить угловую скорость диполя  в момент прохождения им положения равновесия. Момент инерции диполя относительно оси, перпендикулярной плечу и проходящей через центр диполя равен J = 210 ^{ 9} кгм².
Решение

1. Кинетическая энергия вращательного движения определяется как

. (1)

2. Механический момент, действующий на диполь в электрическом поле, равен

. (2)

3.Полная работа при повороте диполя в электрическом поле зависит от электрического момента и угла поворота

. (3)

4. При прохождении состояния равновесия ₁ =0, ₂ = /2, т.к. электрическое поле в начальном положении диполя перпендикулярно его оси

. (4)

1.6.7. Колба проекционной лампы заполненная криптоном, находящимся под давлением р = 20 МПа при температуре Т = 400 К помещена в электрическое поле напряжённостью Е = 2 МВ/м. Найти диэлектрическую проницаемость криптона и его поляризованность Р. Поляризуемость криптона принять равной  = 4,510 ^{ 29} м³.

Решение

1. Диэлектрическая проницаемость  входит в уравнение Клаузиуса  Мосотти

, (1)

где n  концентрация атомов криптона.

2. Концентрацию молекул газа определим из уравнения молекулярно-кинетической теории

, (2)

где k_B = 1,410 ^{ 23} Дж/К  постоянная Больцмана.

3. Подставим значение n из уравнения (2) в уравнение (1)

. (3)

4. Разрешим уравнение (3) относительно величины диэлектрической проницаемости 

. (3)

5. Величина поляризованности определяется в общем виде уравнением

, (4)

где р_i  дипольный момент, наведённый в i  м атоме,   число атомов в объёме V. При нахождении атомов в однородном электрическом поле все атомы имеют дипольные моменты, совпадающие по направлению и по величине, это даёт возможность от геометрического сложения в уравнении (4) перейти к алгебраическому

. (5)

6. С другой стороны, отношение полного числа атомов к занимаемому ими объёму равно концентрации /V = n

. (6)

7. Выразим далее дипольный момент через поляризуемость  и напряжённость локального электрического поля Е^*

. (7)

8. Выразим напряжённость локального поля Е^* через напряжённость внешнего поля Е, а концентрацию через давление и температуру

(8)
1.6.8. В близи атома на расстоянии r = 1 нм находится   частица, представляющая собой дважды ионизированный атом гелия с зарядом 2|e|. Электрическое поле   частицы индуцирует электрический момент атома р = 110 ^{ 32} Клм. Найти поляризуемость этого атома.
Решение

1. Поляризуемость  пропорциональна индуцированному электрическому моменту р и обратно пропорциональна напряжённости локального магнитного поля

. (1)

2. В данном случае внешнее электрическое поле создаётся   частицей, оно же, по сути, будет являться и локальным

. (2)

3. Совместим уравнения (1) и (2)

. (3)
1.6.9. Вода имеет плотность  = 10³ кг/м³ и показатель преломления n = 1,33. Определить электронную Поляризуемость _е молекул воды.
Решение

1. Электронная поляризуемость молекул определяется формулой Лоренц  Лорентца

, (1)

где  = 1810 ^{ 3} кг/моль, N_A = 610²³ моль ^{ 1}.

2. Разрешим уравнение (1) относительно _е

. (2)

. (3)

5. 
   Электрическая ёмкость. Конденсаторы
   

1.7.1. Определить электрическую ёмкость С уединённого проводящего шара радиусом R = 1 м, погруженного в трансформаторное масло.
Решение

1. Диэлектрическая проницаемость керосина  = 2, ёмкость шара определяется уравнением

. (1)
1.7.2. Найти электрическую ёмкость С проводящей сферы, погруженной в воду. Радиус сферы составляет R = 2 см.
Решение

1. Воспользуемся уравнением предыдущей задачи, с учётом значения диэлектрической проницаемости воды  =80

. (1)
1.7.3. Определить электрическую ёмкость Земли, приняв её за шар радиусом R  6,410⁵ м.
Решение

1. Воспользуемся уравнением для электроёмкости шара

. (1)
1.7.4. Два металлических шара радиусами R₁ = 2 см и R₂ = 6 см соединяют проводником с пренебрежимо малой ёмкостью и сообщают электрический заряд Q = 1 нКл. Определить поверхностную плотность зарядов.
Решение

1. Запишем уравнения электрической ёмкости шаров

. (1)

2. Электрическая ёмкость шара определяется, как известно, величиной размещённого на нём заряда и потенциалом C = Q/. Поскольку шары соединили безъемкостным проводником, то потенциал обоих шаров будет одинаков, а вот электрические ёмкости  разные

, (2)

где Q₁, Q₂ и С₁, С₂  заряды и электроёмкости шаров, соответственно.

3. В соответствии с законом сохранения заряда

. (3)

4. Образуем систему уравнений, из которой можно найти заряд каждого шара

, (4)

, (5)

, (6)

. (7)

5. Определим далее поверхностную плотность зарядов

, (8)

. (9)
1.7.5. Шар радиусом R₁ = 6 см заряжен до потенциала ₁ = 300 В, а шар радиусом R₂ = 4 см до потенциала 500 В. Найти потенциал шаров после их соединения безъемкостным проводником.
Решение

1. Запишем уравнения, определяющие электрическую ёмкость шаров

. (1)

2. Общая ёмкость шаров после соединения

. (2)

3. Поскольку известны потенциалы шаров до их соединения, можно определить их заряды

. (3)

4. Электрический заряд шаров после их соединения безъёмкостным проводником

. (4)

5. Потенциал шаров после их соединения

. (5)
1.7.6. Медное пушечное ядро, массой m = 10 кг вследствие трения при полёте о воздух приобрело электрический заряд, эквивалентный N = 10¹⁰ некомпенсированным элементарным зарядам. Определить электрическую ёмкость ядра и его потенциал.
Решение

1. Для определения электрической ёмкости пушечного ядра сферической формы необходимо знать его радиус, который можно найти по известной массе m и плотности меди  = 8,910³ кг/м³

. (1)

2. Электрическая ёмкость медного пушечного ядра

. (2)

3. Электрический потенциал ядра

. (3)
1.7.7. Заряженное проводящее тело сферической формы радиусом R = 2 см обладает электрической энергией W = 1 Дж. Определить потенциал этого тела.
Решение

1. Электрическая энергия и потенциал заряженного тела связаны следующим уравнением

. (1)
1.7.8. Найти электрическую ёмкость С плоского конденсатора с площадью пластин s = 100 см² и расстоянием между ними d = 0,1 мм заполненным слюдой с диэлектрической проницаемостью  = 7.

Решение

1. Электрическая ёмкость плоского конденсатора определяется уравнением

. (1)


1.7.9. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекло толщиной d₁ = 7 мм и эбонит толщиной d₂ = 3 мм. Площадь каждой из пластин s = 200 см². Определить электрическую ёмкость конденсатора С, смещение D, напряжённость Е и падение потенциала на каждом слое диэлектрика.

Решение

1. Примем диэлектрическую проницаемость стекла ₁ = 7, проницаемость эбонита ₂ = 3. Предложенную в задаче конструкцию можно рассматривать как два последовательно соединённых конденсатора, причём

, (1)

, (2)

. (3)

2. Определим заряд конденсатора

. (4)

3. Поверхностная плотность электрического заряда , которая по величине совпадает со значением смещения D

. (5)

4. Поскольку С₁ = С₂ = 180 пФ, то ₁ = ₂ = 300 В, а для напряжённости поля Е можно записать следующие соотношения

. (6)

. (7)
1.7.10. Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 1,3 мм, площадь пластин составляет s = 20 см². В пространстве между пластинами конденсатора расположены два слоя диэлектриков: слюда толщиной d₁ = 0,7 мм и эбонита толщиной d₂ = 0,3 мм. Определить электрическую ёмкость такого конденсатора.


Решение

1. Данную конструкцию электрической ёмкости можно рассматривать как три последовательно включённых конденсатора: один с диэлектриком из слюды, второй  из эбонита, третий с диэлектриком из воздуха.

2. Диэлектрическая проницаемость слюды ₁ = 7, диэлектрическая проницаемость эбонита ₂ = 3, диэлектрическая проницаемость воздуха ₃ = 1.

3. Три последовательно соединённых конденсатора имеют общую ёмкость, определяемую уравнением

. (1)

4. Ёмкости отдельных конденсаторов соответственно равны

, , , (2)

5. Сопоставим уравнения (1) и (2)

. (3)

6. Преобразуем последнее уравнение к более простому виду

, (4)

, (5)

. (6)

7. Поделим числитель и знаменатель уравнения (6) па произведение диэлектрических проницаемостей (₁₂₃)

, (7)

, (8)

8. Подставим в уравнение (8) заданные по условию задачи и справочные данные

. (9)
1.7.11. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределён электрический заряд плотностью  = 0,2 мкКл/м². Расстояние между пластинами d = 1 мм. На сколько изменится разность потенциалов на обкладках конденсатора, если расстояние между пластинами увеличить в три раза.
Решение

1. Разность потенциалов на обкладках конденсатора и его заряд связаны следующим соотношением

. (1)

2. При увеличении расстояния между обкладками изменяется ёмкость конденсатора и разность потенциалов между обкладками, другими словами

. (2)

3. Определим разность потенциалов при измени расстояния между обкладками

. (3)

1.7.12. Два кубика электрической ёмкостью С₁ и С₂ заряжены до потенциалов ₁ и ₂ соответственно. Определить ёмкость прямоугольной призмы, составленной из этих кубиков.
Решение

1. Поскольку соединяемые тела не представляют собой конденсаторы в классическом их понимании, то использовать для нахождения общей ёмкости формул последовательного или параллельного соединения не представляется возможным. В данном случае применимы законы сохранения заряда и энергии.

2. Запишем законы сохранения заряда и энергии

. (1)

3. Перепишем систему уравнений (1) с учётом значений зарядов кубиков и общей их энергии W_o

. (2)

4. Совместим уравнения системы (2)

, (3)

откуда

. (4)

1.7.13. На плоский конденсатор с парафиновым диэлектриком ( = 2) подано напряжение U = 4000 В. Расстояние между обкладками d = 2 мм. Определить поверхностную плотность зарядов  на обкладках.
Решение

1. Выразим электрическую ёмкость конденсатора через его электрические и геометрические параметры

, (1)

2. Подставим в уравнение (1) заданные величины

. (2)


1.7.14. Плоский конденсатор представляет собой две круглые проводящие пластины радиусом r = 1 см, пространство между которыми заполнено винипластом с диэлектрической проницаемостью  = 3. Какой максимальный заряд Q_max должен быть на пластинах, чтобы при напряжённости электрического поля Е = 45 кВ/мм произошёл электрический пробой диэлектрика?
Решение

1. Для решения задачи воспользуемся уравнением (1) предыдущей задачи

. (3)

2. Разрешим уравнение (3) относительно заряда Q

. (4)


1.7.14. Электростатические весы представляют собой устройство, в котором действие силы тяжести компенсируется силой притяжения между разноимённо заряженными пластинами, расположенными на расстоянии d = 1 мм. Какой добавочный груз нужно поместить на чашку весов, чтобы расстояние между пластинами сохранилось при зарядке конденсатора напряжением U = 1 кВ? Площадь пластин составляет s = 510 ^{ 3} м².
Решение

1. Определим силу Кулона, действующую на положительно заряженную пластину

. (1)

2. С другой стороны, заряд конденсатора можно выразить через его ёмкость и разность потенциалов между обкладками

. (2)

3. Подставим значение заряда из уравнения (2) в уравнение (1)

. (3)

4. Определим массу перегрузка m для уравновешивания весов

. (4)


1.7.15. Электростатические весы устроены так, что одна из пластин конденсатора укреплена неподвижно, а вторая соединена с пружиной с коэффициентом жёсткости k. Площадь обкладок конденсатора равна s. Определить удлинение пружиныl при сообщении пластинам равных по модулю и противоположных по знаку зарядов Q.
Решение

1. Воспользовавшись уравнением (1) предыдущей задачи, определим величину силы, возникающей при взаимодействии разноимённо заряженных пластин

. (1)

2. Притяжение пластин будет сопровождаться удлинением пружины на величину l и возникновением силы упругости F_у = kl, другими словами

. (2)

1.7.16. В плоском переменном конденсаторе ёмкость изменяется путём увеличения расстояния между пластинами. Какую работу совершает источник тока, к которому подключены пластины, если ёмкость меняется от С₁ до С₂, а заряд конденсатора остаётся равным Q?
Решение

1. Как было показано в предыдущих задачах, разноимённо заряженные пластины притягиваются с силой

. (1)

2. При элементарном изменении расстояния между пластинами на у ёмкость конденсатора изменяется на dC, при этом внешним источником энергии, каковым является батарея, совершается элементарная работа

, (2)

полная работа при изменении расстояния от d₁ до d₂ определится как

. (3)

3. Установим взаимосвязь расстояния между пластинами и ёмкости

, (4)

. (5)

4. Подставим уравнение (5) в формулу работы (3)

. (6)
1.7.17. Напряжение U₁ = 100 B на круглых пластинах воздушного конденсатора радиусом R = 0,5 см увеличили до U₂ = 200 В, а пластины развели на 25% от первоначальной величины d₁ = 0,5 мм. Определить изменение заряда q на обкладках.
Решение

1. В данном случае конденсатор является плоским, поэтому его ёмкость для двух положений пластин определится как

. (1)

2. Подставим в уравнения (1) значение электрической ёмкости, выраженное через напряжение на обкладках и заряд конденсатора С = Q/U

. (2)

3. Разрешим уравнения (2) относительно зарядов и определим их разность

, (3)

. (4)

. (5)
1.7.18. Пластины плоского воздушного конденсатора несут заряды + 3Q и – Q. Определить разность потенциалов между пластинами, если расстояние между ними d, а их площадь  s.
Решение

1. Будем исходить из того, что напряжённость электрического поля между двумя параллельными заряженными пластинами определяется уравнением

, (1)

где  напряжённость результирующего поля, определяемая в виде суперпозиции полей, создаваемых каждой из пластин.

2. Геометрическая сумма напряжённостей полей создаваемых пластинами, в сочетании с уравнением (1), позволяют определить искомую разность потенциалов

. (2)

, (3)

. (4)


1.7.19. Плоский воздушный конденсатор погружают в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ₂ двумя способами, показанными на рисунке. Во сколько раз, при этом, меняется ёмкость конденсатора.
Решение

1. Когда в жидкий диэлектрик погружена половина площади обоих пластин, то такой сложный конденсатор можно рассматривать как две электрические ёмкости, соединённые параллельно

, (1)

где ₁ = 1  диэлектрическая проницаемость воздуха, ₂  диэлектрическая проницаемость жидкого диэлектрика.

2. Изменение ёмкости для рассмотренного выше случая составит

, (2)

где С₀ = ₀₁s/d  электрическая ёмкость воздушного конденсатора.

3. При погружении в диэлектрик одной пластины образуется сложная ёмкость, которую можно представить в виде двух последовательно соединённых конденсаторов С_2,1 и С_2,2

, (3)

. (4)

4. Отношение ёмкостей в этом случае определится уравнением

. (5)

5. Определим далее отношение ёмкостей С₂ и С₁

. (6)


1.7.20. В отсутствии силы тяжести плоский воздушный конденсатор с пластинами площадью s и расстоянием между ними d₁ подключён к источнику с электродвижущей силой . К нижней пластине плотно прижата проводящая пластина массой m и толщиной d. С какой скоростью пластина ударится о верхнюю обкладку, если её отпустить?
Решение

1. На проводящей пластине, прижатой к нижней обкладке, индуцируется электрическое поле, причём отрицательные заряды будут концентрироваться со стороны нижней обкладки, а положительные  на противоположной. Так как пластина прижата плотно к обкладке и расположение её несимметрично, то часть электронов обкладки перейдёт на пластину, заряд которой можно определить как

, (1)

где С = ₀s/(d₁ – d₂)  ёмкость воздушного конденсатора, образованного металлической пластиной и верхней обкладкой, _*  ЭДС источника тока.

2. Отрицательно заряженная металлическая пластина будет притягиваться к верхней положительно заряженной обкладке конденсатора. Вследствие второго закона Ньютона, наличие силы, действующей на массу, должно неминуемо привести к её движению. Движение пластины описывается законом сохранения энергии, в частности, теоремой об изменении кинетической энергии. Работа, совершаемая силами электрического поля равна изменению кинетической энергии пластины. С учётом неподвижности пластины в начальный момент времени, сказанное выше, можно представить следующим образом

, (2)

откуда скорость пластины в момент достижения верхней обкладки определится уравнением

. (3)


1.7.21. Во сколько раз изменится ёмкость плоского воздушного конденсатора с пластинами площадью s₁ и расстоянием между ними d₁, если параллельно обкладкам внести парафиновую пластину площадью s₂ = s₁/2 и толщиной d₂ = d₁/2?

Решение

1. В данном случае, при внесении пластины, ёмкость можно представить как три конденсатора, с последовательным и параллельным включением. Электроёмкость конденсатора, образованного пластинами и воздушным промежутком определяется как

. (1)

2. При внесении пластины с воздушным промежутком над ней представляет собой два последовательно соединённых конденсатора С_2,1 и С_2,2, и параллельную ёмкость С_2,3

, (2)

где .

3. Подставим значение ёмкостей С_2,1, С_2,2 и С_2,3 в уравнение (2)

. (3)

4. Поделим уравнение (3) на уравнение (1)

. (4)
1.7.22. Две концентрические металлические сферы радиусами R₁ = 2 см и R₂ = 2,1 см образуют сферический конденсатор. Пространство между сферами заполнено парафином с диэлектрической проницаемостью  = 2. Найти ёмкость сферического конденсатора.

Решение

1. Электрическая ёмкость сферического конденсатора определяется уравнением

1.7.23. Определить ёмкость конденсаторного соединения, ели С₁ = С₂ = С₃ = С₄ = С₅ = 1 мкФ
Решение

1. Так как все конденсаторы задействованные в рассматриваемой схеме одинаковые, то потенциалы точек 2 и 4 будут тоже одинаковыми, а это значит, что при подключении батареи к источнику тока конденсатор С₅ заряжаться не будет. В этой связи приведенную схему можно упростить.

2. В отсутствии конденсатора С₅ схема представляет собой комбинацию последовательного и параллельного включения

, (1)

. (2)

3. По условию задачи все ёмкости одинаковые по величине, поэтому введём обозначение С₁ = С₂ = С₃ = С₄ = С, тогда

. (3)