Оценка опционов на активы, приносящие доход

Формулы (12.13) и (12.14) оценивают стоимость опциона на актив, не приносящий его владельцу никаких дополнительных выгод, помимо возможного роста цены. Для случая, когда базовый актив приносит некоторый доход - это могут быть дивиденды по акциям, выплата процентов по облигациям и тому подобное, эти формулы должны быть скорректированы.

Рассмотрим для примера европейский опцион на приобретение. Если в промежутке между заключением контракта и его выполнением по базовому активу выплачивается определенный доход, - это снижает стоимость этого актива на момент выполнения опциона. Покупатель опциона приобретает актив не сегодня, а через определенное время, и тем самым не получает доходы, которые данный актив за это время обеспечивает. Соответственно, стоимость опциона «колл» на актив, приносящий доход, должна быть ниже, чем в случае если бы этих доходов не было. Для опциона «пут» справедлива обратная закономерность - если актив приносит доход, стоимость опциона на продажу будет больше по сравнению с ситуацией, когда этого дохода нет.

Пусть рассматривается опцион на акцию, по которой через время t0 (t0

, (12.0)

r - ставка дисконтирования (эффективная годовая доходность). Если r - аналогичная ставка с непрерывным сложным процентом, то есть

,

формулу (12.15) можно записать

. (12.0)

Стоимость опциона «колл» на такую акцию будет равна

, (12.0)

где

.

В рассмотренном нами примере оценки опциона на акцию компании «АБВ» предположим, что через три месяца ожидается выплата дивидендов в размере 10 гривен на одну акцию. Цена акции, скорректированная на сегодняшнюю стоимость дивидендов, будет равна

грн.

Рассчитаем параметр zd

,

соответственно

,

F(-0.2059)=0.4184, F(-0.5783)=0.2815,

откуда стоимость опциона равна

грн.

Стоимость аналогичного опциона на продажу рассчитывается в соответ­ствии с теоремой о паритете для опциона на актив, приносящий доход (соотно­ше­ние (12.10))

Активы с непрерывным доходом

Базовый актив, по которому заключается опционный контракт, может обеспечивать не только дискретные выплаты, когда в определенный момент времени владельцу выплачивается некоторая сумма денег, но и непрерывный доход - если стоимость актива возрастает с течением времени. Примером могут быть деньги, размещенные на депозите, или облигации, цена которых растет с приближением момента погашения. В этом случае, если мы обозначим через y годовой темп прироста стоимости актива (годовую доходность с непрерывным сложным процентом), текущая цена актива, по которому заключается опцион, должна быть скорректирована на величину доходов, обеспечиваемых за время до выполнения опциона

.

Соответственно, стоимость опциона «колл» на данный актив будет равна

, (12.0)

где

.

Теорема о паритете стоимости опционов «пут» и «колл» в этом случае примет вид

. (12.0)

Оценка американского опциона

Американский опцион предоставляет его владельцу право выбора наиболее выгодного для него момента выполнения контракта. Вследствие этого стоимость американского опциона не может быть меньше стоимости европейского опциона. Можно сказать, что стоимость американского опциона превышает стоимость аналогичного европейского на определенную величину, называемую премией досрочного выполнения:

(12.0)

где pc и - премии досрочного выполнения соответственно для опционов «колл» и «пут», причем pc > 0, pp > 0.

Наиболее важный для практической оценки стоимости опциона вопрос - насколько существенна величина премии досрочного выполнения? Эмпирические наблюдения свидетельствуют, что, как правило, рыночные цены на опционы американского типа выше, чем цены аналогичных европейских опционов, однако, в большинстве случаев эта разница незначительна.

Можно показать, что для опциона на актив, не обеспечивающий доходов, премия досрочного выполнения должна быть равна нулю. Объясняется это тем, что ситуация, когда владельцу опциона выгодно выполнить его досрочно, невозможна. Действительно, предположим, что в некоторый момент времени выполнение американского опциона «колл» выгодно его владельцу, то есть S > X, где S - текущая цена, X - цена выполнения. Тем самым стоимость опциона при немедленном его выполнении составляет S - X. Если же опцион не будет реализован до окончания срока действия соглашения (подобно европейскому опциону), его текущая стоимость в соответствии с (12.5) удовлетворяет соотношению

.

(затраты на приобретение актива возникнут не сейчас, а в будущем). Оче­вид­но, что

.

Следовательно, покупателю опциона выгоднее не выполнять его немедленно, а владеть им до окончания срока действия соглашения, так как

.

Таким образом, независимо от значения цены базового актива на рынке спот в каждый момент времени, стоимость американского опциона на покупку актива, не приносящего доходов, равна стоимости европейского опциона, и для оценки американского опциона в данном случае можно пользоваться формулой (12.13). Аналогичное утверждение справедливо для контракта на продажу: стоимость американского опциона «пут» на актив, не обеспечивающий доходов, определяется формулой (12.14).

Для опционов по активам, приносящих дискретные или непрерывные доходы - величина премии досрочного выполнения всегда положительна. Это означает, что могут существовать условия, в которых досрочное выполнение опциона выгодно - если прибыль от немедленной реализации опциона больше, чем его стоимость: например, если по отношению к опциону «колл» на акцию, по которой будут выплачены дивиденды, выполняется условие (см. (12.7))

(выгоды от дивидендов превышают выгоды от отсрочки затрат на приобретение акции). Следовательно, стоимость американского опциона (в случае, если базовый актив приносит доход) больше стоимости аналогичного европейского опциона. Но величина премии досрочного выполнения (это подтверждают и теоретические разработки и наблюдения за ценами на реально функционирующих рынках) как правило, относительно не велика. Поэтому для оценки американских опционов на практике часто пользуются формулами для европейского опциона. Для опциона «колл» - это формулы (12.17), (12.18) - соответственно для активов, обеспечивающих дискретный или непрерывный доход. Стоимость американского опциона «пут» можно получить, используя теорему о паритете стоимости опционов на покупку и на продажу (формулы (12.9) и (12.10)).

Существует несколько методов более точного определения стоимости американского опциона. Как правило, предлагаемые подходы достаточно сложны. Наиболее известные формулы оценки стоимости американских опционов содержатся в математическом приложении к данной главе.

Валютные опционы

Организованный рынок валютных опционов возник относительно недавно - первые в мире торги по опционам на иностранную валюту были проведены фондовой биржей Филадельфии (Philadelphia Stock Exchange, PHLX) в конце 1982 года. В настоящее время крупнейшими центрами торговли валютными опционами являются, помимо Филадельфии, Лондон (LIFFE), Сингапур, Амстердам, и другие.

Валютный опцион представляет собой право, но не обязательство купить или продать определенное количество иностранной валюты по зафиксированному соглашением курсу, в определенный момент (для американского опциона - промежуток) времени. Базовым активом по отношению к валютному опциону является иностранная валюта, которая в данном случае рассматривается как актив, приносящий гарантированный непрерывный доход, равный зарубежной безрисковой ставке процента. Действительно, владея определенной суммой валюты, инвестор имеет возможность получения доходов от размещения этих денег на банковском депозите или от вложений в зарубежные облигации. Поэтому при оценке опциона по иностранной валюте используют формулы для расчета стоимости опционов на активы с непрерывным доходом. Стоимость европейского опциона на приобретение одной единицы валюты определяется формулой

, (12.0)

где s - текущий валютный курс (единиц внутренней валюты за одну единицу иностранной), x - курс, по которому покупатель опциона имеет право приобрести иностранную валюту (курс выполнения), r - внутренняя безрисковая ставка процента (с учетом непрерывного сложного процента), - зарубежная процентная ставка,  - дисперсия прироста валютного курса в единицу времени (в годовом измерении), t - время до выполнения опциона, величина определяется формулой

.

Стоимость опциона на продажу одной единицы иностранной валюты, используя те же обозначения можно записать

, (12.0)

или

. (12.0)

Опционы на валюту обладают интересным свойством, называемым эквивалентностью опционов «пут» и «колл». Действительно, опцион на покупку иностранной валюты одновременно является опционом на продажу оте­че­­ственной валюты. Если обозначить: P(s,x) - стоимость опциона на продажу одной единицы иностранной валюты по курсу x при текущем курсе s; C(1/s,1/x) - стоимость аналогичного (по типу и времени выполнения) опциона на покупку одной единицы внутренней валюты за 1/x единиц иностранной, то свойство эквивалентности запишется:

. (12.0)

Расчет стоимости валютного опциона

Пусть сегодня - 1 июля 1996 г. и необходимо оценить стоимость европейского опциона на приобретение 1 октября 1996 г. (t = 92/365 = 0.2521 лет) 100 долларов США по кур­су 1.8 гривен за доллар. Сегодняшний курс - 1.786 гривен за доллар. Эф­фективная доходность трехмесячных государственных облигаций составля­ет годовых (соответственно, доходность с непрерывным сложным процентом: ). Дисперсию доходно­сти доллара рассчитаем исходя из динамики курса за последний месяц:

Дата	Курс	Доходность	Дата	Курс	Доходность
31/05	1.841		17/06	1.817	-0.274%
04/06	1.840	-0.054%	18/06	1.817	0.000%
05/06	1.830	-0.543%	19/06	1.812	-0.275%
06/06	1.830	0.000%	20/06	1.812	0.000%
07/06	1.830	0.000%	21/06	1.812	0.000%
10/06	1.822	-0.437%	24/06	1.812	0.000%
11/06	1.822	0.000%	25/06	1.809	-0.166%
12/06	1.822	0.000%	26/06	1.803	-0.332%
13/06	1.822	0.000%	27/06	1.795	-0.444%
14/06	1.822	0.000%	28/06	1.786	-0.501%

В соответствии с этими данными, дисперсия однодневного прироста курса доллара составляет 0.00041%. Для того, чтобы привести эту величину к годовому измерению, умножим ее на 365

Эффективную доходность долларовых инвестиций будем считать равной годовых ().

Таким образом, у нас есть все необходимые данные для определения стоимости валютного опциона по формуле (12.21). Рассчитаем вначале параметр

откуда

Таким образом, стоимость опциона на приобретение равна:

гривен.

Полученная нами достаточно высокая стоимость опциона объясняется значительной разницей в доходности украинских государственных облигаций и долларовых инвестиций при относительно стабильном курсе - ситуация, которая в действительности имела место в Украине летом 1996 года, когда реально существовали возможности процентного арбитража - долларовая доходность украинских ОВГЗ превышала 100%! По этой же причине стоимость аналогичного опциона на продажу равна нулю:

.

Хеджирование и спекуляция с использованием опционов

Стратегии хеджирования

Хеджирование с использованием опционов, как и в случае фью­черс­ных контрактов, означает защиту инвестором своей длинной или короткой позиции по базовому активу с помощью покупки опционов «пут» или «колл». При этом доходность опциона должна быть негативно коррелированна с доходностью позиции по базовому активу. Ниже рассмотрены некоторые наиболее простые, и в то же время - эффективные, стратегии хеджирования.

Защитный опцион на продажу

Инвестор, владеющий некоторым активом (длинная позиция), может застраховать себя от непредвиденного снижения цены и связанных с этим потерь с помощью приобретения опциона на продажу. Инвестор, тем самым, фиксирует для себя нижнюю границу цены актива. Подобная стратегия хеджирования носит название защитного опциона.

Пусть инвестор владеет акциями, текущая рыночная стоимость которых составляет 10 гривен за акцию. Всего у инвестора 1000 акций, и на данный момент общая стоимость позиции по базовому активу составляет 10’000 гривен. Если инвестор опасается, что цена акций снизится, он может приобрести защитный опцион «пут». Предположим, что американский опцион на продажу одной акции в течение ближайших трех месяцев стоит на рынке 0.50 гривен. Для того чтобы полностью застраховать свои акции, инвестору необходимо купить 1000 опционов. Общие затраты составят 0.5*1000 = 500 гривен. Далее рассмотрим две возможности - роста и снижения рыночной стоимости акций. Пусть цена в течение трех месяцев возрастает до 11 гривен. Естественно, что реализовать опционы бессмысленно, а затраты на их приобретение можно считать потерянными. Общая стоимость позиции составит



грн.,

а прибыль будет равна 500 гривен. В случае падения цены на акции, скажем, до 9 гривен, инвестор несет потери по акциям, но выигрывает от реализации опциона на продажу:

гривен.

Последнее, третье слагаемое здесь, - это выигрыш от реализации опциона: например, инвестор продает акции по 10 гривен, выполняя опцион, и тут же покупает аналогичное количество этих акций по рыночной цене 9 гривен. Если опцион относится к типу погашаемых денежными средствами, то выигрыш (разница между рыночной ценой и ценой выполнения) за каждый опцион перечисляется инвестору продавцом при реализации опциона (при организованной торговле это перечисление производится через клиринговую организацию). Зависимость прибылей (убытков) от фактического значения рыночной цены отображено на рисунке 12-2.

Интересно сравнить хеджирование с использованием опциона и аналогичную по смыслу операцию защиты длинной позиции с помощью продажи фьючерсного контракта (короткий хедж). В случае короткого хеджа, инвестор не несет убытков при падении цены (если игнорировать операционные издержки), но и не получает никаких выгод от благоприятного изменения рыночной конъюнктуры. При использовании опциона, инвестор несет убытки, равные величине премии, если цена падает, но получает прибыль при росте цены, причем размер прибыли будет тем большим, чем на большую величину вырастет цена. То есть, премия есть своего рода плата за возможность получения прибыли, тогда как размер возможных убытков фиксирован. Стратегия защитного опциона на продажу подобна обычному страхованию. Опционная премия является аналогом страховой премии - платы за страховку, а выигрыш по опциону при неблагоприятном изменении рыночной конъюнктуры - аналог страховой выплаты при наступлении страхового случая. Причем выигрыш (страховая выплата) обратно пропорционален потерям от непредвиденного снижения цены. В случае, когда количество открытых опционных позиций в точности соответствует количеству длинных позиций по базовому активу, страховка является полной - все потери при неблагоприятной ситуации полностью компенсируются, и инвестор теряет лишь выплаченную им опционную премию. Аналогия с механизмом страхования послужила причиной того, что стратегия хеджирования инвестиционного портфеля с помощью опционов на продажу фондового индекса получила название страхование портфеля.

Страхование портфеля

Фондовые индексы отражают движение цен на рынке ценных бумаг в целом, либо на определенном его сегменте. Другими словами, колебания индекса отражают колебания стоимости определенного портфеля ценных бумаг. Опционы по фондовым индексам, как и аналогичные фьючерсные контракты, способны обеспечить хеджирование системного риска, связанного с колебанием стоимости активов на рынке в целом. Стратегия страхования портфеля состоит в приобретении опционов на право продажи фондового индекса.

Рассмотрим пример. Пусть инвестиционная компания располагает фондовым портфелем, стоимость которого по сегодняшним рыночным ценам составляет 100 млн. долларов. Предположим также, что структура данного портфеля точно отражает структуру портфеля, используемого для расчета некоторого фондового индекса, например SP500. Если текущее значение индекса составляет 400 единиц, можно сказать, что портфель инвестиционной компании содержит 250 тысяч единиц индекса. Опционным контрактом по фондовому индексу SP500 торгуют на СВОЕ. Контрактный множитель составляет 500 долларов, - то есть одна единица индекса оценена в $500. Следовательно, сумма платежа по одному контракту равна разнице между фактическим значением индекса на момент выполнения и контрактной ценой (значение индекса, зафиксированное контрактом), умноженной на $500.

Приобретение контракта на продажу индекса обеспечивает страхование риска снижения стоимости портфеля, но необходимо решить: какое количество контрактов приобрести, чтобы защита была полной, и любые потери стоимости портфеля компенсировались выигрышем по опционному контракту? Один контракт в случае снижения величины индекса на одну единицу приносит 500 долларов прибыли. Чтобы застраховать портфель, содержащий 250 тысяч единиц индекса необходимо приобрести:

контрактов.

Пусть рыночная цена опциона на продажу индекса SP500 по цене 400 единиц составляет $5000. Общие затраты на приобретение 500 контрактов равны 2.5 млн. долларов.

Рассмотрим два случая - благоприятный и неблагоприятный с точки зрения инвестиций в портфель SP500. Пусть, в первом случае индекс через определенное время вырос до значения 450. Портфель, содержащий 250 тысяч единиц индекса, должен увеличиться в стоимости до 250*450 = 112.5 млн. долларов.

С учетом затрат на приобретение опционов, прибыль составит

млн. долларов,

тогда как, если бы опционы не приобретались, прибыль была бы на 2.5 миллиона долларов больше. Опционный контракт этом случае не выполняется.

Если наблюдается снижение величины индекса, скажем до 350 единиц, стоимость нашего портфеля будет равна

млн. долларов,

Снижение стоимости портфеля составляет 12.5 млн. долларов. Однако инвестиционная компания имеет возможность реализовать свои контракты на продажу портфеля. Опцион по индексу является контрактом, погашаемым денежными средствами. Общий выигрыш нашей инвестиционной компании по опционам составит

млн. долларов,

что полностью компенсирует потери, связанные со снижением стоимости портфеля. Общий размер прибыли равен

млн. долларов,

то есть убытки в точности равны затратам на приобретение опционов. Размер убытков не изменится, каким бы ни было снижение величины индекса и соответствующее падение стоимости портфеля.

<предыдущая страница | следующая страница>