Тема 12.

Опционы

Опцион (от англ. option - выбор, право выбора) - контракт, согласно которому одна из сторон получает право купить или продать базовый актив по установленной соглашением цене в определенный промежуток (момент) времени. Право купить или продать актив имеет покупатель опциона. Продавец обязан выполнить контракт в случае, если покупатель решит свое право реализовать.

Из самого определения опциона следует, что возможны два типа контрактов - соглашение о праве на приобретение (опцион на приобретение или опцион «колл») и соглашение о праве на продажу (опцион на продажу или опцион «пут»). Цена, по которой покупатель опциона может купить (продать) базовый актив называется ценой выполнения. Момент времени, в который заканчивается действие соглашения, называется моментом выполнения опциона.

Различают европейский тип опциона - когда покупка (продажа) может быть совершена исключительно в определенный соглашением момент, и американский опцион, который может быть выполнен покупателем в любой момент времени на протяжении срока действия соглашения. О покупателе говорят, что он открыл длинную позицию по опционному контракту («длинный колл» или «длинный пут» в зависимости от типа контракта). О продавце опциона говорят как об открывшем короткую позицию («короткий пут» или «короткий колл»).

Покупатель имеет право, но не обязательство относительно приобретения или продажи базового актива - он может, в зависимости от того, выгодно ему это или нет, либо реализовать соглашение, либо отказаться от его выполнения. В тоже время продавец обязан выполнить свои обязательства, если покупатель обратится к нему с таким требованием. То есть, когда контракт уже заключен, весь риск, связанный с неблагоприятным изменением цены, лежит на продавце. Для того чтобы продавец согласился принять на себя этот риск, покупатель платит ему за заключение контракта определенную сумму, называемую премией.

Опционный контракт называют еще условным требованием (contin­gent claim), так как его реализация зависит от того, будет ли это выгодно покупателю.

Контракты типа опциона практикуются на товарных и финансовых рынках достаточно давно. Подобные соглашений практиковались еще на Амстердамской фондовой бирже в 17-м столетии. Опционные контракты были распостранены в Европе девятнадцатого века. Возникновение рынка опционов на акции в США относится к 20-м годам нашего столетия, но в период депрессии 30-х годов эти соглашения были запрещены.

Возникновение современного организованного рынка опционов относится к 1973 году и связано с образованием Чикагской биржи опционов (Chicago Board Options Ex­chan­ge, CBOE), как подразделения Chicago Board of Trade. CBOE и на сегодняшний день является крупнейшей биржей опционов, на которой торгуют контрактами по отдельным акциям, государственным облигациям, фондовым индексам. Помимо CBOE, крупными торговыми площадками по торговле опционами являются NYSE, American Exchange, London Futures and Options Exchange (опционы по акциям и фондовым индексам), транснациональная International Options Corporation (оп­ци­о­ны по золоту, серебру и платине), и другие.

В Украине сколько-нибудь значительный организованный рынок опционов пока не сложился.

Рынок опционов, как и рынок фьючерсных контрактов - важная составная часть развитого финансового рынка. Основная его роль состоит в расширении инвестиционных возможностей участников рынка и перераспределении риска.

В отличие от фьючерсного рынка, где хеджеры и спекулянты могут открывать как длинные, так и короткие позиции, в зависимости от собственных целей и прогнозов, роли на рынке опционов распределены более четко. Покупатель опциона - это, как правило, хеджер, использующий контракт для страхования риска неблагоприятного изменения цены. Продавец - это спекулянт, рассчитывающий на прибыль при реализации прогноза будущих цен.

Как и в случае фьючерсных рынков, контракты на организованном рынке опционов заключаются и выполняются при посредничестве специализированной клиринговой организации (клиринговой палаты). Например, практически все опционные контракты в Соединенных Штатах заключаются через общенациональную Опционную клиринговую корпорацию (Options Clearing Corporation, OCC), устанавливающую условия торговли и стандарты контрактов, и обеспечивающую их выполнение. Основная цель деятельности клиринговой организации - обеспечение надежности выполнения контрактов. Так как источником кредитного риска являются только продавцы опционов, по отношению к ним, как правило, устанавливаются требования по внесению страховых взносов (маржи), равных в большинстве случаев опционной премии плюс определенный процент от суммы контракта. Помимо этого, часто устанавливаются ограничения на объем одновременно заключаемых контрактов, либо на объем контрактов, подлежащих выполнению в определенный промежуток времени.

Цена опциона

Как и в случае с фьючерсным контрактом, необходимо различать понятия опционной цены - цены выполнения контракта, по которой будет куплен (продан) актив, если соглашение будет выполнено, и стоимости опциона, понимаемую как прирост богатства, который дает инвестору владение данным инструментом. Стоимость опциона на момент заключения контракта непосредственно связана с величиной опционной премии - действительно, выплачиваемая покупателем продавцу премия представляет собой не что иное, как согласованную сторонами оценку стоимости контракта.

Стоимость в момент выполнения

Рассмотрим опцион на приобретение. Пусть X - цена выполнения опциона, S - цена базового актива на рынке наличных продаж в момент выполнения, C(t) - стоимость европейского опциона за время t до выполнения. Чему равна стоимость опциона к моменту выполнения? Если цена на рынке спот больше цены выполнения опциона S > X, то владельцу (покупателю) опциона безусловно выгодно выполнить контракт - его выигрыш в этом случае составит величину

S - X.

В противном случае, если S < X, купить базовый актив выгоднее на рынке спот и выполнять контракт нет смысла (стоимость опциона равна нулю).

Обобщая эти два случая, можно записать формулу для стоимости европейского опциона «колл» в момент выполнения

. (12.0)

Аналогично, стоимость опциона «пут» равна

. (12.0)

Стоимость опциона на покупку, а значит и выигрыш владельца тем выше, чем на большую величину превосходит цена спот S цену выполнения X (рисунок 12-1а). В случае опциона на продажу выигрыш тем больше, чем больше разница X - S (рисунок 12-1б).

Формулы (12.1) и (12.2) подходят и для оценки стоимости американских опционов в момент окончания срока действия соглашения.

Границы стоимости опциона

Говорят, что опцион на приобретение выгоден покупателю, если текущая цена базового актива на рынке спот больше цены выполнения опциона - в наших обозначениях S > X (для опциона «пут» - если цена спот меньше цены выполнения S < X). Соответственно, опцион «колл» не выгоден покупателю, если S < X (для опциона «пут» S > X).

Границы стоимости опциона легко вывести, исходя из условия отсутствия арбитражных возможностей. Верхней границей для опциона на покупку (независимо от того, американский это или европейский опцион) является текущая цена на ранке спот - никто не заплатит за право на приобретение актива больше, чем он стоит на рынке. Для опциона на продажу верхней границей стоимости является цена выполнения - нельзя заплатить за право продажи больше, чем цена, по которой можно это право реализовать.

Нижней границей стоимости американского опциона «пут» является разница S - X (в случае, если S > X) - иначе покупатель купив опцион и немедленно выполнив его, получит арбитражную прибыль. Аналогично, нижней границей стоимости опциона на продажу является разница X - S (если S < X).

Таким образом, стоимость американского опциона на покупку Ca(t) должна находиться в пределах

. (12.0)

Аналогично, для стоимости американского опциона на продажу Pa(t) должно выполняться условие

. (12.0)

Границы стоимости европейского опциона определяются аналогично, но с учетом того, что опцион может быть выполнен только через время t, то есть отсутствием арбитража считается невозможность получения за время t гарантированной прибыли, большей, чем безрисковая процентная ставка. Для европейского опциона границы стоимости можно определить как

, (12.0)

где - безрисковая (эффективная) ставка процента. Соответственно, стоимость европейского опциона на продажу всегда должна находиться в пределах

. (12.0)

Соотношения (12.5) и (12.6) справедливы, если базовый актив не обеспечивает его владельцу никаких дополнительных доходов (помимо тех, которые связаны с ростом или снижением цены) за время до выполнения опциона (дивидендов, купонных выплат и т.п.). В случае если в течение данного промежутка времени, на одну единицу базового актива через время t0 будет получен доход в размере d, формулы (12.5) и (12.6) примут вид соответственно

, (12.0)

. (12.0)

Стоимость американского опциона (независимо от вида) всегда больше или равна стоимости аналогичного европейского опциона. Используя наши обозначения

.

Это объясняется тем, что владелец американского опциона имеет возможность выбора наиболее выгодного для него момента времени выполнения.

Взаимосвязь стоимости опционов «пут» и «колл»

Стоимость опционов на покупку и на приобретение связана зависимостью, носящей название теоремы о паритете стоимости опционов «пут» и «колл». Если C(t) - стоимость европейского опциона на приобретение по цене X через время t некоторого базового актива, не обеспе­чи­ваю­ще­го доходов в промежутке времени до выполнения, P(t) - стоимость аналогичного (с такой же ценой выполнения) опциона на продажу, то в отсутствие арбитражных возможностей должно выполняться условие

(12.0)

где - безрисковая ставка процента, S - текущая цена базового актива. Для доказательства рассмотрим два следующих портфеля. Первый содержит один опцион на покупку и государственные дисконтные облигации общей номинальной стоимостью X, погашаемые в момент выполнения опциона. Второй состоит из одного опциона на продажу и одной единицы базового актива. Левая часть соотношения (12.9) представляет собой текущую стоимость первого портфеля (стоимость облигаций номинальной стоимостью X, погашаемых через время t при ставке доходности равняется

).

Правая часть соотношения (12.9) - это текущая стоимость второго портфеля. Обозначим через S0 цену спот базового актива к моменту выполнения опционов. Тогда ко времени выполнения стоимость первого портфеля будет равна (используя (12.1))

,

стоимость второго портфеля составит

.

Так как стоимость обоих портфелей через время t одинакова, то, если невозможен арбитраж, их сегодняшняя стоимость также должна быть одинаковой, и должно выполняться соотношение (12.9).

Если базовый актив в промежутке времени до выполнения опциона обеспечивает определенный доход, соотношение (12.9) примет вид

, (12.0)

где d - размер дохода, t0 - время до выплаты.

Стоимость опциона за один период до выполнения

Рассмотрим следующий вопрос - сколько стоит опцион за один период (скажем, день или неделю) до выполнения. Для простоты будем рассматривать европейский опцион. Пусть S - цена спот за один день до выполнения соглашения, X - как и прежде, цена выполнения опциона, R - однодневная безрисковая ставка доходности. Предположим, что за один период возможно либо увеличение цены до уровня hS (h > 0) с вероятностью p, либо снижение до уровня kS с вероятностью 1 - p.

Пусть инвестор владеет портфелем, содержащим n единиц базового актива, и один опцион «колл», стоимость которого обозначим через C(1). Стоимость портфеля составит

за 1 период до выполнения, и

, с вероятностью p,

либо

, с вероятностью 1 - p,

- в момент выполнения опциона.

Очевидно, что n можно подобрать таким образом, чтобы стоимость портфеля была известна с определенностью, то есть

,

откуда:

.

Отсутствие неопределенности означает, что доходность исходного портфеля не должна превышать безрисковую процентную ставку - так как в противном случае возможно получение арбитражной прибыли. Проиллюстрируем это утверждение следующим примером. Пусть

S=100, h=1.2, k=0.8, X=110,

тогда, стоимость портфеля в момент выполнения будет

120n + 10, с вероятностью p,

80n + 0, с вероятностью 1-p.

Величина n, при которой стоимость портфеля известна с определенностью, равна -0.25. Это означает, что инвестор продал взятые в долг 0.25 единиц базового актива. Стоимость портфеля за один период до выполнения опциона равна:

.

Стоимость портфеля в момент выполнения:

.

Отрицательная величина стоимости означает необходимость возврата взятого в долг актива. Исходя из невозможности арбитража, стоимость портфеля не может возрасти более, чем на R процентов

,

или, считая R=0.01

,

откуда стоимость опциона

.

В общем случае формула оценки стоимости опциона за один период до выполнения в условиях принятых нами допущениях выглядит так

, (12.0)

где

.

Биномиальная формула оценки опциона

Зная как определить стоимость опциона за один период до момента выполнения, можно пользуясь аналогичным приемом, рассчитать формулу для двух, трех, и так далее, периодов.

В общем случае, стоимость опциона на покупку за t элементарных периодов до момента выполнения можно записать как

, (12.0)

где

; ,

i* - минимальное целое i для которого выполняется условие

.

Формула (12.12) носит название биномиальной формулы оценки опциона и была впервые предложена Дж.Коксом, С.Россом и М.Рубин­штейном в 1979 году.

Замечательным свойством биномиальной формулы является то, что стоимость опциона в ней не зависит от вероятностей повышения либо снижения цены, а определяется лишь возможным разбросом прироста цены за один период (в формуле - величины h и k). Такая модель, и сама формула справедлива только в случае, когда элементарный период мал по сравнению со всем промежутком времени от момента оценки до выполнения (например, если элементарный период - день, а время до выполнения измеряется несколькими месяцами).

Формула Блэка - Шоулза

Формула Блэка-Шоулза для оценки опциона является, по-видимому, од­ним из наиболее знаменитых и нашедших широкое практическое применение достижений современной финансовой теории. Широкой ее популярности способствовала, во-первых, простота практического использования, а во-вторых, тот факт, что выход статьи, в которой она впервые была опубликована, практически совпал по времени с началом организованной торговли опционами на Чикагской бирже опционов (CBOE).

Формула Блэка-Шоулза является предельным случаем биномиальной формулы и оценивает стоимость европейского опциона на актив, не предусматривающий промежуточных выплат (дивидендов и т.п.):

(12.0)

где C(t) - стоимость опциона на приобретение за t лет до выполнения, S - текущая цена базового актива, r - безрисковая доходность (эффективная годовая ставка с непрерывным сложным процентом), X - цена выполнения опциона,  - стандартное отклонение доходности базового актива, F(.) - функция стандартного нормального распределения, параметр z определяется по формуле

.

Формула (12.13) основывается на ряде упрощающих предположений, главными из которых являются: отсутствие операционных издержек и налогов, бесконечная делимость активов, постоянство процентных ставок и нормальное распределение доходности базового актива. Тем не менее, вследствие простоты и удобства использования, формула Блэка-Шоулза и ее модификации для различных видов базовых активов нашли широкое практическое применение.

Отметим, что используя соотношение (12.13) можно рассчитывать и стоимость опциона на продажу - с помощью теоремы о паритете стоимости опционов «пут» и «колл» (соотношение (12.9)). Используя упомянутую теорему, стоимость опциона на продажу можно получить из (12.13):

. (12.0)

Тета, ламбда и дельта опциона

Формула Блэка-Шоулза устанавливает зависимость стоимости опциона от пяти основных параметров: t, S, X, r и . Для инвестора также важно знать - как изменится стоимость опциона в ответ на изменение этих параметров. Величина

называется параметром тета опциона «колл», а величины

носят название соответственно показателей дельта и ламбда опциона. Очевидно что все эти величины положительны, - то есть увеличение времени до выполнения, цены и дисперсии доходности повышают стоимость опциона. Чем больше эти величины - тем более рискован опцион для продавца. Аналогичные показатели рассчитываются и для опциона «пут» - как частные производные функции (12.14).

Пример расчета стоимости опциона с помощью формулы Блэка-Шоулза

Пусть оценивается опцион на приобретение через девять месяцев одной акции корпорации «АБВ». Будем считать, что дивиденды по акции не выплачиваются. Текущая рыночная цена акции - 100 гривен, цена выполнения опциона - 120 гривен. Таким образом

.

Безрисковую ставку доходности рассчитаем на основании информации о доходности государственных ценных бумаг. Пусть эффективная ставка по краткосрочным дисконтным государственным облигациям составляет =20% годовых. Отсюда годовая доходность, рассчитанная исходя их непрерывного сложного процента, равна

,

тем самым, .

Наиболее трудоемкая задача - определение дисперсии доходности акции (параметр 2). Проще всего рассчитать статистическую оценку данного параметра исходя из исторических данных. Пусть есть информация об изменении цены акции на протяжении последних десяти недель, на основании которой можно рассчитать фактические доходности:

Неделя	Цена	Недельная доходность
1	85
2	90	2.22%
3	100	3.26%
4	110	-5.26%
5	100	8.89%
6	105	7.14%
7	95	-9.52%
8	90	2.11%
9	95	-2.06%
10	100	5.26%

Оценка дисперсии недельной доходности акции, рассчитанная на основании этих данных, равна 0.3554%. Считая, что прирост цены акции в каждую последующую неделю не зависит от предыдущей, рассчитаем дисперсию годовой доходности, умножив дисперсию недельной доходности на количество недель в году: 2=52*0.3554%=18.48% (=43%).

Теперь у нас есть вся информация для того, чтобы воспользоваться формулой Блэка-Шоулза. Рассчитаем вначале параметр z

,

соответственно . Найти значения функции стандартного нормального распределения для этих значений аргументов можно различными путями. Во-первых, можно воспользоваться стандартными статистическими таблицами для этого распределения. Во-вторых, можно воспользоваться специальными функциями, которыми обладают практически все современные электронные таблицы. И, наконец, в-третьих, можно использовать приближенную формулу:

В нашем случае F(-0.4157)=0.3388, F(-0.7881)=0.2153.

Окончательно получим, что стоимость нашего опциона равна

грн.

Рассчитаем показатели тета, дельта и ламбда рассматриваемого опциона «колл»

,

Таким образом, стоимость опциона при увеличении времени до выполнения на один год увеличится приблизительно на 4 грн., при росте текущей цены акции на 1 грн. стоимость опциона возрастет на 34 копейки, и при увеличении дисперсии доходности акции на 0.1 - стоимость возрастет примерно на 2.27 гривен.

Стоимость аналогичного опциона на продажу согласно (12.14) равна

грн.

следующая страница>