ТЕОРЕМА ФЕРМА
Определение. Пусть имеем функцию определенную на множестве , и внутренняя точка. Точка называется точкой максимума (точкой минимума) функции , если , что (). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Теорема Ферма (необходимое условие для экстремума). Если внутренняя точка является точкой экстремума для дифференцируемой функции , тогда .

Доказательство: т.к. точка внутренняя точка, то . Если то что односторонние производные тоже существуют и равны между собой. Допустим, что точка максимума, т.е. . Рассмотрим . Если то . Это значит, что . (*)

Рассмотрим производную слева . Т.к. и и . Следовательно, можно сказать, что . (**)

Из (*) и (**) . Ч.т.д.

Замечание: Обозначим . Для дифференцируемой функции – это множество, где находятся все точки экстремума функции. Множество – называется множеством стационарных (критических) точек.


Графически это означает, что если точка – точка экстремума, то касательная, проведенная в точке , параллельна оси , и следовательно .

Эта теорема является необходимым, но не достаточным условием для существования экстремума.

Например, .

.Точка является критической точкой, но не является точкой экстремума, так как в окрестности этой точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.


ТЕОРЕМА РОЛЛЯ
Теорема Ролля. Пусть имеем функцию , которая непрерывна на отрезке и имеет конечную производную на интервале , а также на концах принимает равные значения, т.е. . Тогда, существует такая точка , что

Замечание. Данная точка может быть не единственной.

Доказательство: По II теореме Вейерштрасса, если функция непрерывна на отрезке , то она принимает наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке, т.е. существуют такие точки , что и .

Рассмотрим два случая:

1) Пусть любая точка из .

2) Пусть . Т.к. и что хотя бы одна из этих точек не совпадает с точками . Допустим, что и точка экстремума для дифференцируемой функции . Из теоремы Ферма что, обязательно Ч.т.д.

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси .

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА

ИЛИ ФОРМУЛА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ


Теорема Лагранжа. Пусть имеем функцию , которая определена и непрерывна на отрезке и существует конечная производная хотя бы на интервале . Тогда, существует такая точка , что .

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию . Эта функция непрерывна на отрезке , и Следовательно, функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, т.е. , где . Посчитаем :

. Ч.т.д.

отражает угловой коэффициент прямой. Если эту прямую перемещать параллельно самой себе, то в какой-то момент эта прямая будет касательной к кривой, потом покинет кривую.

ТЕОРЕМА КОШИ
Теорема Коши. Пусть имеем функции , которые непрерывны на отрезке и существуют конечные производные и , причем для . Тогда , что .

Доказательство: сначала покажем, что . Допустим, что , тогда функция будет удовлетворять всем условиям теоремы Ролля, следовательно, , что , а это невозможно, т.к. .

Рассмотрим вспомогательную функцию . Эта функция непрерывна на отрезке , как сумма двух непрерывных функций, и Следовательно функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, т.е. , где . Посчитаем :

. Ч.т.д.

Замечание. Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа, если подобрать .