Андрей Швец

Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика

Выгуливая вечером собаку, опять вспомнил о теореме Ферма. Ее простота прямо жаждет такого же простого доказательства. Решил, что не стоит даже пытаться подходить к этой задаче с различными арифметическими и алгебраическими преобразованиями. Слишком много умных голов это уже пробовали. То же самое и с доказательством через иррациональность. Если уж и пытаться, то как-то совсем по-другому. Вспомнив, что Ферма интересовался вопросами теории вероятности, попробовал отыскать доказательство, предположив, что решения данного уравнения на больших интервалах не противоречат законам случайных событий. Доказательство созрело очень быстро, но уж очень разные сферы. Однако при дальнейшем размышлении решил, что применение такого подхода вполне оправдано. Правда, не знаю, смогу ли я это толково объяснить, ведь я совсем не математик и даже не юрист.

Итак, напомню, что речь идет о следующем уравнении:

Аⁿ+Bⁿ=Cⁿ (1)

Предположим, что имеется одно значение С, которое удовлетворяет данному уравнению и при этом является простым числом. Очевидно, что, умножая обе части равенства на Kⁿ, где K - целое число, мы получим бесконечное число решений. Эти решения будут располагаться на выбранном нами интервале с определенной частотой. При увеличении интервала частота будет уменьшаться. Скажем, при удвоении интервала отношение частот будет равно

О_прав=Ч_прав2 /Ч_прав1 (2)

где О_прав - Отношение частот значений правой части уравнения (1) при удвоении интервала, соответственно, Ч_прав2 - частота значений на удвоенном интервале, Ч_прав1 - частота значений на одинарном. Легко показать, что О_прав не зависит от значения С, которое мы взяли в качестве первого решения уравнения (1).

Мы предположили наличие одного простого решения уравнения, но при любом конечном числе таких решений и при стремлении рассматриваемого интервала к бесконечности, при его удвоении, соотношение частот останется таким же. Соотношение будет большим, если число простых решений бесконечно. Но оно не может быть меньшим, ведь мы его выводили для случая с одним простым решением. И если оно меньше, то это означает, что простых решений нет и, следовательно, нет решений вообще. То есть уравнение (1) не имеет целых решений при условии: Ч_реш1/Ч_реш2<О_прав (3)

где, Ч_реш1 - частота решений уравнения (1) на одинарном интервале, Ч_реш2 - частота решений на удвоенном интервале.

Предположим, что значения левой и правой частей нашего уравнения имеют свойства случайных чисел. Тогда можно сказать, что вероятность их совпадения равна произведению вероятностей для обеих частей равенства. То есть вероятность появления на числовой прямой числа, значение которого равно Аⁿ + Вⁿ следует умножить на вероятность появления числа, равного Сⁿ, и тогда получим вероятность того, что эти значения совпадут. Перейдя на язык частот можно записать, что

Ч_реш=Ч_прав*Ч_лев (4)

где Ч_реш - частота решений данного уравнения, Ч_лев - частота (Аⁿ + Вⁿ) , Ч_прав - частота Сⁿ . Теперь выражение (3) можно преобразовать:

Ч_реш1/Ч_реш2<Ч_прав1/Ч_прав2

(Ч_прав2*Ч_лев2)/ (Ч_прав1*Ч_лев1) <Ч_прав2/Ч_прав1

Ч_лев2/Ч_лев1<1 (5)

Пусть Критерий=Ч_лев2/Ч_лев1 (6) Тогда если Критерий<0 то уравнение не имеет целых решений, если Критерий=0, то пожалуй нельзя определенно сказать о их наличии, если Критерий>0 то целые решения есть. Не стоит однако по выражению (6) делать вывод о том, что Критерий не зависит от правой части уравнения, если б она имела вид отличный от Сⁿ, то критерий был бы другим.

Для вычисления Ч_лев необходимо найти число всех комбинаций А и В при которых значение Аⁿ + Вⁿ не будет превышать Kⁿ. Это можно сделать через интегральное исчисление, но мне больше нравится другой способ. Сначала определим наибольший интервал, на котором при любых значениях А и В выполняется условие Аⁿ+Вⁿ<=Кⁿ и при помощи формул комбинаторики легко найдем число всех возможных комбинаций на этом интервале. Оно будет пропорционально всему числу комбинаций. Однако нам не нужно находить этот коэфициент пропорциональности, потому что он взаимносократится при делении частот. И, таким образом, мы получим следующее выражение:

Критерий=2^{2/n - 1} (7)

Из него следует, что при n>2 уравнение не целых решений.

Однако теперь предстоит самое трудное - доказать правомерность рассмотренного доказательства. И первый вопрос, который возникает: а при чем здесь целые числа? Не при чем. Главное не в том, что они целые, а в том, что таким образом ограничивается число решений. Если бы речь шла о любых числах, то на любом интервале имелось бы бесконечное число решений. Но поскольку числа только целые, то решениями являются лишь отдельные точки на числовой прямой. Впрочем, может быть стоит учитывать и тот факт, что в используемой здесь комбинаторике и теории вероятностей, целые значения переменных подразумевается.

Другое важное допущение заключается в том, что совпадение левой и правой части уравнения мы считаем случайным событием. Однако частота решений неслучайных пропорциональна частоте случайных решений на бесконечно больших интервалах. Потому при определении отношения частот они сокращаются. Даже если предположить непропорциональную зависимость, то критерий сохранит свою значимость. Таким образом, по отношению между частотами для случайных решений можно, в данном случае, судить и о неслучайных.

Все приведенные рассуждения можно применить и к более общему уравнению вида:

X₁ⁿ+ X₂ⁿ+…+ X_mⁿ= X_m+1ⁿ (8)

Для него Критерий=2^{m/n -1} поэтому при m1), уравнение не имеет решения в целых числах. Но это было бы справедливо при равномерном изменении плотности решений на числовой прямой. Однако это не так, плотность меняется циклически. Это вызвано тем, что в начале числовой прямой плотность решений мала из-за небольшого числа возможных подстановок целых чисел. Вполне естественно, что эта область с пониженной плотностью повторится при умножении ее на Sⁿ , где S- любое целое число. А если при определенном среднем значении, есть области с пониженной плотностью, то есть области и с повышенной плотностью. Амплитуда этих колебаний так зависит только от величины m, что при m>3 области повышенной плотности позволяют найти решения уравнения (8) в целых числах для любого значения n . Колебания плотности при m=3 абсолютно точно вписываются в средние значения изменения плотности решений, найденные по формуле (7), поэтому данный подход не позволяет сделать однозначный вывод при n=m=3. В дополнение к теореме Ферма можно предложить еще одну теорему: выражение (8) имеет решение в целых числах для всех m>3.

Впрочем, я не математик и наверняка что-то упустил. Но мне было весело. В конце концов, я просто выгуливал собаку.