Урок 5
Цилиндр

Цели: ввести понятие цилиндра (ось цилиндра, его высота, основания цилиндра); ввести понятие цилиндрической поверхности, образующих цилиндра; доказать теорему об объеме цилиндра и теорему о площади боковой поверхности цилиндра; научить применять эти теоремы при решении задач.

Ход урока

I. Объяснение нового материала.

1. Возьмем прямоугольник АВСD и будем вращать его вокруг одной из сторон, например, вокруг стороны АВ (рис. 360). В результате получится тело, которое называется цилиндром.

Учитель показывает модель цилиндра.

2. На доске и в тетрадях строится изображение цилиндра и его частей (рис. 360 на с. 327). Прямая АВ называется осью цилиндра, а отрезок АВ – его высотой. При вращении сторон АD и ВС образуются два равных круга – они называются основаниями цилиндра, а их радиус называется радиусом цилиндра. При вращении стороны СD образуется поверхность, состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра. Ее называют цилиндрической поверхностью или боковой поверхностью цилиндра, а отрезки, из которых она составлена, – образующими цилиндра. Таким образом, цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

3. Рассмотреть решение задачи № 1213 (рис. 366, с. 331 учебника). Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать, что объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

, где S – площадь основания; h – высота цилиндра.

4. Ввести понятие развертки боковой поверхности цилиндра, используя рисунок учебника (рис. 361).

Записать в тетрадях: площадь боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, то есть

,

где r – радиус основания цилиндра, h – высота цилиндра.

II. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1214 (б; в) на доске и в тетрадях.

б) Дано: V = 120 см³; h = 3,6 см. Найти r.

Решение

V = Sh, отсюда

S =(см²).

S_круга = πr²,

отсюда r =(см).

Ответ: см.

в) Дано: r = h; V = 8π см³. Найти h.

V = Sh = πr² ∙ h = π ∙ h² ∙ h = πh³,

тогда 8π = πh³,

отсюда h³ = 8, h == 2.

Ответ: 2.

2. Решить задачу № 1216.

Учащиеся решают задачу самостоятельно, а затем проверяется решение.

Решение

Дано: диаметр d = 1 м; h = с (длина окружности основания). Найдите S_бок.

Длина окружности равна с = 2πr = πd; по условию h = c, тогда h = πd =

= π ∙ 1 м = π (м).

S_бок = 2πr ∙ h = πd ∙ h = π ∙ 1 ∙ π = π² (м²).

Ответ: π² м².

3. Решить задачу № 1217. Задача практического характера.

Решение

h = 4 м; d = 20 см. Найти S_бок.

S_бок = 2πrh = πdh = π ∙ 0,2 ∙ 4 = 0,8π (м²).

Найдем 2,5 % от 0,8 π².

2,5 % = 0,025; тогда 0,8π ∙ 0,025 = 0,02π (м²).

Всего пойдет жести

0,8π + 0,02π = 0,82π (м²) ≈ 0,82 ∙ 3,14 ≈ 2,58 (м²).

Ответ: ≈ 2,58 м².

4. Решить задачу № 1245.

Решение

Плотность свинца ρ = 11,4 г/см³; h = 25 м = 2500 см.

ρ =; найдем объем свинцовой трубы:

V = S_осн ∙ h = πr²h.

Основание свинцовой трубы представляет собой кольцо. Найдем площадь кольца по формуле

,

где R₁ =+ 4 = 10,5 (мм), R₂ = 6,5 мм.

S_кольца = π (10,5² – 6,5²) = π (10,5 – 6,5) (10,5 = 6,5) =

= π ∙ 4 ∙ 17 = 68π (мм²) = 0,68π (см²).

Объем свинцовой трубы равен

V = 0,68π ∙ 2500 = 1700π (см³) ≈ 5338 (см³) ≈ 5340 см³.

m = ρV = 11,4 ∙ 5340 ≈ 60,876 (кг) ≈ 61 кг.

Ответ: 61 кг.

5. Решить задачу № 1246. (Учитель объясняет решение.)

Решение

По условию задачи h > r на 12 см, тогда h = r + 12 см.

= 288π см². Найти r и h.

= 2S_осн + S_бок = 2 ∙ πr² + 2πrh =

= 2πr² + 2πr ∙ (r + 12) = 2πr² + 2πr² + 24πr = 4πr² + 24πr.

По условию S_полн = 288π (см²), тогда 4πr² + 24πr = 288π; разделим обе части равенства на 4π, получим

r² = 6r – 72 = 0.

r₁ = 6; r₂ = – 12 – не удовлетворяет условию задачи.

Значит, радиус цилиндра равен 6 см, а высота цилиндра 6 + 12 =

= 18 (см).

Ответ: 6 см; 18 см.

6. Решить задачу № 1247.

Решение По условию АВСD – квадрат; АС = d; Sквадрата = Sбок. цилиндра Найти: Sоснования.

Обозначим сторону квадрата х, тогда из Δ АDС по теореме Пифагора найдем d² = x² + x² = 2x²; x² =,

отсюда x =. AB = AD =.

Площадь квадрата S_{квадрата} = ,

значит, S_бок = .

Мы знаем, что S_бок = 2πrh; h = AB =;

тогда = 2πr ∙ ;

отсюда найдем r =, r =.

Площадь основания цилиндра равна

S = πr² = π ∙ .

Ответ: .

III. Итоги урока.

Ответить на вопросы:

1. Какое тело называется цилиндром? Что такое ось, высота, основания, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра?

2. Какой формулой выражается объем цилиндра?

3. Какой формулой выражается площадь боковой поверхности цилиндра?

Домашнее задание: изучить материал пункта 125, решить задачи № 1214 (а) и № 1244.