БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Выпускная работа по

«Основам информационных технологий»

1MM20

Магистрант кафедры

Дифференциальных уравнений

Механико-математического факультета

Барташевич Константин Александрович

Руководители:

Доктор физико-математических наук,

Профессор Амелькин Владимир Васильевич

Старший преподаватель

Кожич Павел Павлович

Минск – 2010 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список обозначений ко всей выпускной работе

ИТ Информационные технологии

ДУ Дифференциальное уравнение

ОДУ Обыкновенные дифференциальные уравнения

ДС Дифференциальная система (система дифференциальных уравнений)

Реферат на тему «Применение информационных технологий в исследованиях Дифференциальных уранений и их приложений»

Введение

Работа посвящена использованию информационных технологий на примере пакета Mathematica при исследовании теории так называемых изохронных высших порядков динамических систем на плоскости, являющихся подклассом вещественных систем вида

(1)

где – некоторая постоянная (которая может быть и равной нулю), а

P, Q: G→R – голоморфные в окрестности

начала координат O(0,0) фазовой плоскости функции, которые не содержат в своих разложениях в степенные ряды по переменным x и y свободных и линейных членов, т.е.

К системам вида (1) приводится линейным преобразованием и изменением масштаба времени любая вещественная голоморфная монодромная система вида

(2)

с комплексно сопряженными корнями характеристического уравнения системы первого приближения.

Последнее означает, что система (1) – это канонический вид уравнения движения (2), описывающих в окрестности точки покоя O(0,0) либо периодические движения, которым на фазовой плоскости соответствует состояние равновесия типа центра, либо затухающие колебания (при t→ + или t→ -), которым на фазовой плоскости соответствует состояние равновесия типа фокуса.

Заметим при этом, что изохронными могут быть только такие системы вида (2), которые соответствующими преобразованиями приводятся к системам вида (1).

Первыми исследованиями, связанными с изохронными колебаниями, можно считать исследования движения круговых маятников, проведенные еще Г. Галилеем в 1583 г., а также постановка и решение задачи о нахождении в вертикальной плоскости такой кривой, чтобы время, необходимое для спуска по ней до фиксированного горизонта тяжелой материальной точки, находящейся в начальный момент времени в состоянии покоя, не зависело от исходного положения точки на кривой.

Как показал Х. Гюйгенс, такой кривой оказалась циклоида. Указанное свойство циклоиды было использовано Х. Гюйгенсом в 1673 г. при конструировании им точных циклоидальных маятниковых часов. Циклоидальный маятник Х. Гюйгенса был, возможно, первым примером нелинейной изохронности, когда период движения маятника по циклоиде не зависел от амплитуды.

Более подробно об истории вопроса см. [1]. Исследования по проблеме изохронности колебаний имеют прямое отношение, например, к задачам общей теории конструирования точных приборов. Они также связаны с теорией спусковых регуляторов скорости, с теорией механизмов и деталей машин, с обработкой профилей зубьев шестерен, кулачков и различных эксцентриков.

Проблема изохронности колебаний привлекает внимание специалистов по теории летательных аппаратов, химических процессов, теории ядерных реакторов. Изохронные колебания встречаются в задачах математической физики, в теории бифуркаций, в задачах теории телекоммуникаций, когда искажения, возникающие при высокоскоростной передаче цифровых сигналов, устраняются введением адаптивных эквалайзеров.

Проблема изохронности тесно связана с проблемой устойчивости в смысле Ляпунова. Именно, для случая центра необходимым и достаточным условием устойчивости колебаний является изохронность этих колебаний.

Следует отметить, что неоценимую помощь в исследовании проблемы изохронности оказал компьютер, взяв на себя огромную долю вычислительной и аналитической нагрузки.

Благодаря вычислительной мощи компьютера стало возможным моделирование и изучение сложных динамичных систем, чем мы и воспользовались.

Глава 1. Обзор источников информации о пакете Mathematica

Основным источником для изучения функциональных возможностей пакета Mathematica, является всемирная сеть Интернет.

Когда пользователь решает начать использование пакета, ему необходимы набор минимальных, общих знаний о том, как пользоваться пакетам, как вводить данные, как получать результаты и какое окружение необходимо для стабильной работы пакета – в этом успешно помогает встроенная справочная система пакета Mathematica.

Рисунок 2.1 – Справочная система пакета Mathematica

Работа содержит многочисленные вычисления, показывающие, что при объединении теории дифференциальных уравнений и математического анализа с возможностями пакета Mathematica удаётся легко решить многие математические проблемы.

следующая страница>