Ac правильной треугольной призмы abca'B'C' взята точка k так, что ak = 1/4, ck

СТЕРЕОМЕТРИЯ МГУ

(МФТИ,1995,5,5) На ребре AC правильной треугольной призмы ABCA'B'C' взята точка K так, что AK = 1/4, CK = 3/4. Через точку K проведена плоскость, образующая с плоскостью ABC угол, тангенс которого равен 7/6, и рассекающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого - нет.

Ответ: V = 3/8

(МФТИ,1998,5,6) Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды SABCD перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна квадратному корню из 5. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция ABCD (AD = BC), описанная около окружности и такая, что AB = 6, а угол BAD равен 60 градусов. Найти расстояние от точки D до плоскости SAB. Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник SCD, а вершина принадлежит грани SAB. Найти объем конуса.
МФТИ,1997,5,5) Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар радиуса 3r/2 так, что каждый шар касается двух других и боковой поверхности цилиндра, причем первые два равных шара касаются нижнего основания, а третий шар касается верхнего основания цилиндра. Найти радиус основания цилиндра, если его высоты равна 4r.
(МФТИ,1997,5,5) В треугольной пирамиде ABCD ребра AB и CD взаимно перпендикулярны, AD = BC, расстояние от середины E ребра AB до плоскости ACD равно h, угол DAC равен 90 градусов, угол ACD равен 45 градусов, угол между ребром DC и гранью ABC равен 30 градусов. Найти расстояние от точки E до плоскости BCD, угол между ребром AB и гранью ACD, а также угол между гранями ABD и ABC.
(МФТИ,1991,5,5) Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC так, что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пирамиды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найти объем пирамиды, если длина образующей конуса равна 1, угол BAC равен 90 градусов, угол SBA равен 30 градусов, угол ASB равен 45 градусов.
(МФТИ,1996,5,5) В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна a. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник ACD, а вершиной конуса является точка O, где OD - высота пирамиды. Найти радиус основания конуса r и радиус шара R, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой B.
(МФТИ,1996,5,5) В кубе ABCDA'B'C'D', ребро которого равно 6, точки M и N - середины ребер AB и B'C' соответственно, а точка K расположена на ребре DC так, что CK = 2KD. Найти: 1. Расстояние от точки N до прямой AK; 2. расстояние между прямыми MN и AK; 3. Расстояние от точки A' до плоскости треугольника MKN.
(ВМиК,1999,6,6) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D' (ABCD и A'B'C'D' - основания, AA' || BB' || CC' || DD') отрезки M'N', M''N'', M'''N''' - общие перпендикуляры к парам отрезков A'C' и AB', BC' и AC, DC' и AD' соответственно. Объем параллелепипеда равен V, радиус описанной сферы равен R, а сумма длин ребер AA', AB и AD равна m. Найти сумму объемов пирамид AA'M'N', ABM''N'' и ADM'''N'''.
(ВМиК,1970,5,5) В прямом круговом конусе с вершиной S угол между образующими SA и SB равен a, а угол между их проекциями на плоскость основания равен b. Вычислить угол между биссектрисами углов OSA и OSB, где точка O является центром круга, служащего основанием конуса.
МехМат,1970,5,5) Длина каждого ребра треугольной пирамиды SABC равна 1. Отрезок BD есть высота треугольника ABC. Равносторонний треугольник BDE лежит в плоскости, образующей угол a с ребром AC, причем точки S и E лежат по одну сторону от плоскости ABC. Найти расстояние между точками S и E.

ПЛАНИМЕТРИЯ МГУ

(МехМат,1995,5,6) На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки D, E и F соответственно, Отрезки AE и DF проходят через центр вписанной в треугольник окружности, а прямые DF и BC паралельны. Найти длину отрезка BE и периметр треугольника ABC, если BC = 15, BD = 6, CF = 4.

Ответ: 9, 45

(МехМат,1995,4,6) На боковой стороне AB трапеции ABCD взята такая точка M, что AM : BM = 2 : 3. На противоположной стороне CD взята такая точка N, что отрезок MN делит трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найти отношение CN : DN, если BC : AD = 1 : 2.

Ответ: 3/29

(МехМат,1982,2,5) Выпуклый четырехугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке O, при этом AO = OC = 1, BO = OD = 2. Найти периметр четырехугольника ABCD.
(МехМат,1995,4,6) В окружность вписан четырехугольник ABCD, P - точка пересечения его диагоналей, AB = CD = 5, AD > BC. Высота, опущенная из точки B на сторону AD равна 3, а площадь треугольника ADP равна 25/2. Найти длины сторон AD, BC и радиус окружности.
(МехМат,1987,3,6) Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 4, причем AC = BC. На прямой AB взята точка D, удаленная от прямых AC и BC на расстояние 11 и 3 соответственно. Найти косинус угла DBC.
(МФТИ,1994,3,5) На продолжении стороны BC ромба ABCD за точку B взята точка M так, что угол MDC - тупой. Отрезки AB и DM пересекаются в точке N. Найти площадь треугольника CDM, если DN = 3, MN = 4, а высота ромба равна 2.
89. (МФТИ,1991,3,5) На диагонали AC параллелограмма ABCD взята точка P так, что AP : PC = 3 : 5. Окружность с центром в точке P касается прямой BC и пересекает отрезок AD в точках K и L. Точка K лежит между точками A и L, AK = 9, KL = 3, LD = 12. Найти периметр параллелограмма ABCD.
(МФТИ,1997,3,5) В треугольнике ABC на сторонах AB и AC расположены точки D и E соответственно так, что CD - биссектриса треугольника ABC, DE - биссектриса треугольника ACD, EC=ED=4/9, BC=1. Найти CD и площадь треугольника ABC.
(МФТИ,1991,3,5) В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность. Через точку M, лежащую на стороне BC, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую AC в точке K. Найти AK, если AC = a, AB = 6a/5, MB = a/10.
МФТИ,1996,3,5) В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектрисы CM и BK пересекаются в точке O. Площади треугольников BOM и AOM соответственно равны 25 и 40. Найти площадь треугольника ABC и проекцию отрезка OM на прямую AB.
(МФТИ,1998,3,6) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена медиана CD. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, если BC = 4, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5/2.
(МФТИ,1997,3,5) В трапеции ABCD сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC. Окружность касается стороны AB в точке K, лежащей между точками A и B, имеет с отрезком BC единственную общую точку C, проходит через точку D и пересекает отрезок AD в точке E (E не совпадает с D). Найти расстояние от точки K до прямой CD, если AD = 48, BC = 12.

Ответ: 24

98. (МФТИ,1997,3,5) Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 5. Найти сторону ромба.

Ответ: 25/12