2.2.3. Оценка дисперсии истинной ошибки модели

На практике вместо дисперсии истинной ошибки _², значение которой не известно, используется ее оценка, рассчитываемая на основе фактических значений ошибки е_t согласно следующей формулы (см. (1.32), (2.19)):

Обоснованность такой замены можно подтвердить, показав, что M[_e²]=_², т. е. математическое ожидание дисперсии фактической ошибки, определенной на основании известных оценок МНК параметров эконометрической модели, равно дисперсии ее “истинной” ошибки.

Заметим, что векторы значений фактической и “истинной” ошибки связаны следующим соотношением:
e=у –Хa=Х+–Х[(ХХ)^–1Х(Х+)]=

=–Х(ХХ)^–1Х=[E_T –Х(ХХ)^–1Х]=G, (2.57)

где E_T – единичная матрица размера ТТ и G=E_T–Х(ХХ)^–1Х – симметрическая полуопределенная идемпотентная матрица, обладающая согласно ее определению следующим свойством^*:
G^k=G, k=2, 3,... (2.58)
Из (2.57) следует, что расчетные значения фактической ошибки е_t линейной эконометрической модели могут быть выражены в виде линейных комбинаций неизвестных значений истинной ошибки _t. В этом случае сумму квадратов значений фактической ошибки можно представить в следующем виде:
(ee)=GG=G. (2.59)
При выводе выражения (2.59) учтено, что G – симметрическая идемпотентная матрица.

Найдем математическое ожидание левой и правой частей выражения (2.59).

M[ee]= M[G]=

tr(G), (2.60)

где tr(G)= – след матрицы G, представляющий собой сумму ее диагональных элементов (сумму элементов главной диагонали); =_² – дисперсия “истинной” ошибки модели.

При выводе выражения (2.60) также учтено, что M[_t_j]=0, если tj в силу независимости разновременных значений ошибки _t.

След матрицы G может быть определен с учетом свойств этой характеристики. В связи с этим напомним, что:

а) след арифметической суммы матриц равен сумме следов каждой из них

tr(G)= tr(E_T)– tr[Х(ХХ)^–1Х]; (2.61)

б) следы произведений матриц AB и BA равны между собой, естественно при условии, что оба произведения AB и BA матриц A и B существуют.

Тогда, учитывая, что матрица ХХ имеет размер (п+1)(п+1), получим

tr[Х(ХХ)^–1Х]=tr[(ХХ)^–1ХХ]=trE_п+1, (2.62)
где E_п+1 – единичная матрица размера (п+1)(п+1).

Поскольку в силу формы единичных матриц trE_T=Т и trE_п+1= п+1, то из выражения (2.60) вытекает, что несмещенная оценка дисперсии истинной ошибки модели _² определяется на основании следующего выражения:

1. 2.2.4. Особенности проверки обратимости матрицы ХХ

Как было отмечено ранее, при наличии достаточно сильной корреляции между двумя или несколькими переменными х_i, i=1,2,..., n, могут возникнуть трудности, связанные с обращением матрицы ХХ, следствием которых являются ошибки при определении оценок коэффициентов эконометрической модели. Последствия мультиколлинеарности могут быть разные.

Во-первых, падает точность оценивания, что проявляется в росте дисперсий ошибок коэффициентов модели, возникновении сильной зависимости между ними.

Во-вторых, может быть неправильно определена значимость независимых переменных. Иными словами, ошибки, появляющиеся при обращении плохо обусловленной матрицы ХХ приводят к тому, что искажается оценка степени влияния независимых факторов на зависимую переменную у. Вследствие этого, некоторые значимые факторы на этапе их отбора сверху могут быть исключены из модели, а незначимые, наоборот, оставлены.

В-третьих, оценки коэффициентов становятся крайне чувствительными к изменениям исходных данных эконометрической модели. Малейшие изменения значений переменных y_t и х_it или их количества вызывают значительные сдвиги в оценках коэффициентов a₀, a₁,..., a_n. В результате этого иногда меняется содержательный смысл модели. Это свидетельствует о ее ненадежности, неадекватности рассматриваемому реальному процессу.

Информация о плохой обусловленности матрицы ХХ может содержаться в матрице выборочных коэффициентов парной корреляции переменных х_i, i=1,2,..., n. Значения, близкие по абсолютной величине к единице у коэффициентов некоторой даже незначительной по количеству группы переменных, уже указывают на возможные трудности, связанные с обращением матрицы ХХ. Вместе с тем, плохая обусловленность матрицы ХХ может иметь место и при относительно небольших значениях парных коэффициентов корреляции (r  0,8) у группы, содержащей достаточно большее число переменных.

Для выявления сильной мультиколлинеарности между независимыми переменными х_i, i=1,2,..., n, обуславливающей плохую обратимость матрицы ХХ, можно использовать специальные тесты.

Простейший из них связан с использованием понятия чувствительности оценок коэффициентов эконометрической модели к незначительному изменению состава исходных данных. Тестирование в этом случае состоит в сопоставлении оценок коэффициентов первоначального варианта модели со значениями коэффициентов модели, построенной на меньшем количестве данных, т. е. при удалении из вектора у и матрицы Х нескольких элементов и строк соответственно с одинаковыми индексами.

Если некоторые из коэффициентов изменились достаточно сильно, то это свидетельствует о плохой обратимости матрицы ХХ, вызванной значительной мультиколлинеарностью между независимыми факторами модели.

На наличие мультиколлинеарности указывают и высокие значения множественных коэффициентов детерминации, вычисляемых между объясняющими переменными, на основе значений их парных коэффициентов корреляции, объединенных в соответствующую матрицу. Напомним, что множественный коэффициент детерминации D_i определяет уровень линейной связи переменной х_i с набором оставшихся переменных х₁, х₂,..., х_i–1, х_i+,..., х_n. Его значение может быть определено на основе следующего выражения:
W /W_ii, (2.64)
где W  – определитель матрицы W; W_ii – алгебраическое дополнение матрицы W к элементу с индексами ii, R_i – коэффициент множественной корреляции между переменной х_i и оставшимся набором переменных.

W = (2.65)
Матрица W симметрична, поскольку r_ij=r_ji, на ее главной диагонали стоят единицы, поскольку r_ii 1 и при n переменных она имеет размер nn, i=1,2,..., n.

Значимость коэффициента детерминации определяется на основании критерия Фишера, величина которого рассчитывается согласно следующей формулы:

Если некоторые из показателей F_i, i=1,2,..., n будут весьма значительными, т. е. существенно превосходить порог статистической значимости показателя D_i, равный табличному значению критерия Фишера F_* (Т–1, Т–n, p_*), то существуют серьезные основания полагать, что между переменными х₁, х₂,..., х_n существует сильная корреляционная зависимость.

В заключении данного раздела отметим следующее. В тех случаях, когда проведенные тесты подтвердили выполнимость условий (2.21)–(2.24), процедуру построения линейной эконометрической модели можно считать завершенной. Однако, если хотя бы один из тестов показал отрицательный результат нельзя утверждать, что построенная эконометрическая модель характеризуется высоким качеством. В таком случае необходимо разобраться с причинами невыполнения условий (2.21)–(2.24). Они могут не выполняться из-за неправильного выбора формы модели, неверного состава независимых факторов. В этом случае необходимо вернуться к этапу содержательного анализа проблемы построения модели и еще раз проверить обоснованность использования выбранной функциональной зависимости, состава, входящих в нее переменных, корректность измерения их количественных значений и т. п.

В разделе 2.3 будет, например, показано, что смещенность оценок параметров эконометрической модели может быть обусловлена невключением в модель ряда значимых факторов.

На рис. 2.1 изображены последствия неправильного выбора линейной формы функционала y_t=a₀+a₁х_t эконометрической модели вместо квадратичной функции y_t =b₀+b₁ х_t+b₂ х_t².

Несложно заметить, что при линейной форме зависимости между значениями ошибки существует определенная закономерность, т. е. ошибку нельзя будет считать случайной. Она проявляется хотя бы в том, что значения ошибки линейной модели на каждом из рассмотренных интервалов имеют одинаковый знак. Ошибка квадратичной зависимости имеет “более случайный” характер.
у —квадратическая

зависимость

линейная

зависимость

ошибки модели

0 х

Рис. 2.1. Последствия для фактической ошибки неправильно

выбранной формы функционала модели
Вместе с тем, причинами невыполнения условий (2.21)–(2.24) могут быть и специфические свойства рассматриваемых процессов, выражаемых переменными y_t и х_it, i=1,2,..., п; t=1, 2,..., T. В таком случае выход следует искать в использовании более подходящего метода оценки параметров эконометрической модели, более полно учитывающего свойства отображаемых ею процессов. Как правило, такой поиск предполагает определенную модификацию рассмотренного в данной главе “классического” МНК.

Такие модификации, соответствующие различным типам эконометрических моделей, описывающих социально-экономические процессы со специфическими видами взаимосвязей, вызывающих нарушение “канонических” условий МНК (2.21)–(2.24) рассмотрены в последующих главах данного учебника.

1. 2.3. Оценка последствий неправильного выбора состава независимых переменных модели

В данном разделе рассмотрим особенности влияния на качество параметров эконометрической модели ошибок, допущенных на этапе содержательного анализа при выборе состава независимых переменных (факторов). В разделе 2.2.3 было отмечено, что при обосновании модели могут иметь место ошибки двух видов: выбрана неправильная форма функционала f(, x_t) и неверно определен состав ее независимых переменных. Такие ошибки называют ошибками спецификации модели – ошибка спецификации формы уравнения модели и ошибка спецификации матрицы Х. Ошибка спецификации первого вида часто приводит к появлению автокорреляционных взаимосвязей во временном ряду фактической ошибки модели е_t. Это в определенной степени является свидетельством того, что и ее “истинная” ошибка _t не обладает свойствами процесса “белого шума”, поскольку в такой ситуации следует ожидать невыполнение стандартных условий (2.21) и (2.22).

Ошибка спецификации матрицы Х может быть обусловлена разными причинами. Во-первых, в модель могут быть не включены некоторые “существенные” факторы, во-вторых, включены несущественные факторы. Возможна также комбинация этих причин. Рассмотрим последствия, к которым приводят различные варианты ошибки спецификации матрицы Х.

Предположим, что вместо “истинной” эконометрической модели с матрицей значений независимых факторов Х
у=Х+ (2.67)

была сформирована модель с матрицей , отличной от Х,

у= +, (2.68)
где  – вектор коэффициентов модели (2.68).

Для модели (2.68) на основе МНК были найдены оценки параметров согласно известному выражению

b=(  )^–1 у. (2.69)
где b – вектор оценки параметров модели .

Подставив в (2.69) вместо вектора у правую часть из выражения (2.67), получим

b=(  )^–1 Х+(  )^–1 . (2.70)
Из этого результата непосредственно вытекает, что, если столбцы матрицы и ошибка модели (2.67) независимы, то
M[b]=G, (2.71)
где G=(  )^–1  – матрица, столбцами которой являются оценки коэффициентов моделей следующего вида:

где х _it – значение i-го фактора матрицы X в момент t; i=1,2,...,n; – значение j-го фактора матрицы в момент t; j=1,2,...,k. При этом n и k – количества независимых факторов в матрицах X и соответственно.

Из выражения (2.71) вытекают следующие результаты:

1. Предположим, что матрица отличается от матрицы Х только отсутствием последних r столбцов. Иными словами, модель (2.68) отличается от модели (2.67) тем, что в нее не вошли переменные х _k+1,t , х _k+2,t,..., х_nt, где п–k=r – т. е. =[х₁, х ₂,..., х _k], Х=[х₁ , х₂,..., х_k, х_k+1,..., х_n], где х_i =[х_i1 ,..., х_iT]. В этом случае матрица G будет иметь следующий вид:

G =
Заметим, что матрица G размера kn будет образована объединением единичной матрицы Е_k размера kk и матрицы G_r размера kr, элементами которой являются коэффициенты моделей типа (2.72), в которых в качестве зависимых переменных выступают не включенные в матрицу факторы х _k+1, х_k+2,..., х_n. С учетом вида матрицы очевидно, что
G=[Е_k G_r]. (2.74)

где

Е_k=(  )^–1 
Подставив матрицу G из выражения (2.74) в выражение (2.71), получим соотношение, связывающее математические ожидания параметров модели (2.68) с “истинными” параметрами модели (2.67)

Таким образом, оценка j-го коэффициента модели (2.68) оказывается смещенной по отношению к истинному значению j-го коэффициента модели (2.67), j=1, 2,...,k, и величина этого смещения определяется следующим выражением:

Заметим, что коэффициенты g_j,m, т=k+1,..., п; зависят от ковариаций, включенных в модель (2.68) первых k независимых факторов и невключенных в нее последних r независимых факторов модели (2.67), поскольку g_j,m= где j=1,2,...,k, т=k+1,..., п.

В самом деле, если в качестве независимых факторов моделей (2.67) и (2.68) использовать центрированные переменные со значениями (cм. выражение (1.13)), то g_j,m= представляет собой числитель ковариации факторов х _j и х _m.

Смещение оценок коэффициентов (2.70) можно интерпретировать также как перераспределение силы воздействия невключенных факторов на оставшуюся их совокупность.

2. Предположим, что матрица образована присоединением дополнительных r столбцов-значений переменных х _jt, j=1, 2,..., r, корреляционно не связанных с переменной у_t (не оказывающих влияние на зависимую переменную). Для облегчения выкладок будем считать, что все переменные рассматриваемых моделей центрированы. В таком случае матрицу , в которой отсутствует единичный столбец, можно представить в следующем виде:

где  – матрица размера Тr, образованная значениями переменных . Тогда согласно выражениям (2.69) и (2.74) получим

b=[ b ₁, b ₂,... b _n, b _{n +1},..., b _{n +r}]=

^{f()=
+f()G+f(), (2.89)}
где f()= .

Рассмотрим математическое ожидание вектора b. Поскольку факторы , значения которых образуют присоединенную матрицу  , переменная и ошибка  независимы, то M[  ]=M[b_n+1,..., b_n+r]=[0,...,0], т. е. вектор оценок коэффициентов при присоединенных факторах является нулевым.

Из этого результата вытекает, что математическое ожидание произведения матриц   и также образует нулевую матрицу соответствующего размера. Таким образом,
M[  ]=0. (2.78)
С учетом (2.78) матрицу G из выражения (2.77) можно представить в следующем виде:
G = ^{ 0 –1 } = ^Е_п , (2.79)

0   0 0

где Е_п – единичная матрица размера пn, и нулем обозначена матрица размера rn, состоящая из нулевых элементов.

Полученные результаты свидетельствуют, что оценки коэффициентов эконометрической модели с добавленными несущественными факторами являются несмещенными оценками коэффициентов “истинной” модели. При этом математические ожидания оценок коэффициентов при добавленных факторах равны нулю. Кроме того, присоединенные факторы и основные факторы модели попарно независимы.

Полученные результаты позволяют посмотреть на проблему отбора факторов для эконометрической модели под другим углом зрения. Несущественные факторы должны характеризоваться слабыми (незначительными) корреляционными взаимосвязями с основными независимыми переменными. На это может указать значение коэффициента множественной детерминации между фактором х_i и остальным набором переменных. Если его значение, рассчитанное для i-го фактора согласно выражению (2.54) является незначимым по критерию Фишера (выражение (2.66)), то есть все основания полагать, что этот фактор является несущественным. Однако при этом необходимо быть уверенным, что все остальные факторы способны объяснить изменчивость переменной у_t в достаточно полной мере.

1. 2.4. Оценивание параметров эконометрической модели с учетом ограничений

При нахождении оценок параметров линейной эконометрической модели с использованием МНК предполагалось, что их значения не связаны никакими ограничениями. Вместе с тем, исходные предпосылки, лежащие в основе некоторых моделей, описывающих реальные социально-экономические процессы, предполагают, что значения их параметров не могут быть произвольными. Как это будет показано в следующих разделах, часто “содержательными” являются модели только с положительными значениями параметров, Такая ситуация характерна, например, для моделей, описывающих зависимость выпуска продукции от капиталовложений. При их построении предполагается, что влияние капиталовложений любого предыдущего периода на выпуск продукции в текущем периоде может быть только положительным. В этом случае при оценке параметров должны приниматься во внимание естественные ограничения типа
a_i0. (2.80)
В ряде моделей в качестве исходных допущений выдвигаются определенные соотношения между значениями параметров. Так в классическом варианте производственной функции Кобба-Дугласа (1.17) условие постоянной отдачи от факторов требует, чтобы сумма коэффициентов при них равнялась единице, т. е. a₁+a₂=1, при сохранении условия (2.80) для каждого из них. Ограничения в виде соотношений между значениями параметров называют линейными. В общем случае они могут быть представлены в векторно-матричной форме записи
R=r, (2.81)
где r – известный вектор-столбец, состоящий из k элементов, kп+1; R – известная матрица порядка k( п+1). Ее элементы формируются с учетом конкретного вида линейных взаимосвязей между параметрами модели.

Так, например, если в модели предполагается, что ₂=₃ и ₂+₃+2 ₄=2, то вектор r и матрица R имеют следующий вид:

В общем случае постановка задачи оценки коэффициентов эконометрической модели с учетом ограничений с критерием минимума суммы квадратов ошибки формулируется следующим образом: найти параметры a_i, i=0, 1,..., п, минимизирующие квадратическую функцию следующего вида:

при ограничениях

где – соответственно нижняя и верхняя границы области существования значений параметра a_i.

Заметим, что в постановке (2.82)–(2.84) оценки параметров модели обычно определяются в ходе решения задачи оптимизации (минимизации) квадратической целевой функции при линейных ограничениях с использованием вычислительных процедур итеративного характера. Методы решения таких задач рассмотрены в главе XI.

Вместе с тем, если принимается во внимание только одно ограничение, выраженное соотношением (2.84), то оценки параметров эконометрической модели могут быть получены в аналитической форме. Рассмотрим процедуру получения такого решения с использованием МНК.

Требуется определить вектор оценок параметров модели +, минимизирующий квадратическую функцию

при ограничении (2.84) с использованием исходных данных, представленных в виде вектора-столбца наблюдаемых (известных) значений зависимой переменной у и матрицы наблюдаемых значений независимых факторов Х. Здесь означает вектор оценок параметров модели с ограничениями.

Аналитическое решение данной задачи может быть получено с использованием метода множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в этом случае записывается в следующем виде:

^
где  – вектор множителей Лагранжа, образованный k элементами (k – количество ограничений).

Условие минимума функции  по аргументу имеет традиционный вид

^{ (2.87)}

или
^{. (2.88)}

Умножив правую и левую части выражения (2.88) слева на R(XX)^–1, получим
^{. (2.89)}
Заметим, что =a, где a – оценка МНК, полученная без учета ограничений. Принимая также во внимание, что , вектор множителей Лагранжа  определим на основе следующего выражения:
^{= . (2.90)}
Подставив (2.90) в (2.87), получим
^(2.91)
где a, напоминаем, – вектор параметров той же модели, но рассматриваемой без ограничений.

Заметим, что в выражении (2.91) все матрицы и вектора известны, и, таким образом, вектор оценок коэффициентов модели с ограничениями определяется непосредственно.

Определим традиционным образом вектор ошибки модели с ограничениями:

Добавив и вычтя в правой части выражения (2.92) слагаемое Xa, получим выражение, связывающее ошибки обоих вариантов моделей в следующем виде:

Из выражения (2.93) непосредственно следует, что сумма квадратов ошибки модели с ограничениями определяется следующим образом:
При выводе выражения (2.94) учтено, что Xe=eX=0 в силу свойства ошибки (2.44).

Вектор ошибок оценок параметров найдем, подставив в (2.91) вместо вектора a выражение +), где  и  – векторы параметров и ошибки истинной модели. В результате получим

=  +Р , (2.95)
где Р – матрица, определенная следующим выражением:

Таким образом,

 = –  = Р  (2.97)
является вектором ошибок оценок параметров линейной эконометрической модели с учетом наложенных на них ограничений в вида равенств (типа (2.84)).

Поскольку M[Р ]=Р M[]=0, то при отсутствии корреляционных взаимосвязей между переменными х_it и ошибкой _t полученные оценки являются несмещенными, т. е.

M[ ]=. (2.98)
Их ковариационная матрица определяется следующим выражением:
Сov( )=M[( –)( –)]=M[Р  Р]=

=²Р Р. (2.99)

С учетом вида матрицы Р (см. (2.96)) также несложно доказать справедливость следующего равенства^* :
Р Р=Р . (2.100)
В результате ковариационная матрица оценок параметров линейной эконометрической модели с учетом наложенных на нее ограничений в виде равенств ( ) определяется следующим выражением:
Сov( )=² Р . ^(2.101)
В практических исследованиях, как и ранее, дисперсия “идеальной” модели заменяется ее оценкой рассчитанной с использованием фактических значений ошибки согласно известной формуле

На основании выражения (2.94) несложно оценить также “потери” в точности аппроксимации известных значений зависимой переменной у_t, t=1,2,...,T; при использовании эконометрической модели с ограничениями на параметры вместо модели без таких ограничений. Подставляя в (2.94) вместо разности оценок – a ее выражение из формулы (2.91), после очевидных упрощений получим

Левая часть выражения (2.102) представляет собой разницу между суммами квадратов ошибок моделей с ограничениями на параметры и без ограничений.

1. 2.5. Метод максимального правдоподобия

2. 
   <предыдущая страница | следующая страница>