2.5.1. Предпосылки метода максимального правдоподобия

Достаточно широкое распространение при оценке параметров моделей получил и метод максимального правдоподобия, базирующийся на критерии (принципе), согласно которому оптимальные оценки параметров обеспечивают максимум так называемой “функции правдоподобия”. Эта функция может быть интерпретирована как условная плотность совместного распределения (|y, х) п+1-го неизвестного параметра модели ₀, ₁,... _n при заданных исходных значениях зависимой переменной y_t и независимых факторов х_it, i=1,..., п; t=1,..., Т, с учетом того, что эти переменные взаимосвязаны между собой эконометрической моделью с функционалом f(, x) в общем случае. Оптимальные оценки a₀^*, a₁^*,..., a_n^* параметров этого функционала характеризуются в такой ситуации максимальной вероятностью, равной значению функционала правдоподобия в точке (п+1)-мерного пространства оценок с координатами a₀^*, a₁^*,..., a_n^*. Такие оценки и называют оценками максимального правдоподобия.

При их нахождении обычно учитывается, что каждому набору значений оценок параметров соответствуют свои собственные ряды расчетных значений зависимой переменной и фактической ошибки модели е_t, это позволяет сформировать функцию правдоподобия на основе плотности совместного распределения значений ошибки модели _t в моменты t=1,2,..., Т, и оценки максимального правдоподобия находить, максимизируя эту функцию.

В целом, в основе ММП лежат следующие рассуждения.

1. Выбранная модель адекватна процессу изменения (распределению) зависимой переменной y_t , в том смысле, что ее форма и состав факторов “правильно” выражают причинно-следственные связи, определяющие его закономерности. Таким образом, истинная ошибка _t является ”абсолютно” случайной переменной. Ее закон распределения выражает закон распределения значений y_t относительно расчетных значений , рассматриваемых при известных значениях параметров ₀, ₁,..., _n, как выборочные математические ожидания M[y_t]= =₀+₁х_1t+...+_nх_nt . Отклонение значения y_t от его математического ожидания объясняется влиянием на этот процесс каких-либо случайных воздействий, которые невозможно учесть в рамках данной модели и т. п.

2. Закон распределения значений y_t известен. Чаще всего выдвигается естественное предположение о его нормальном характере. Плотность условного совместного распределения значений y_t при известных значениях независимых факторов х_it определяется следующим выражением:  (y_t х_t ) N ( , ), где – дисперсия значения y_t , определяемая относительно его математического ожидания .

Для совокупности случайных величин y_t, t=1, 2,..., T этот закон можно выразить путем задания их совместной плотности распределения, в общем случае имеющей следующий вид:

 (y₁ ,..., y_Т / Х )= N (M[y ], _y), (2.103)
где M[y ] – вектор математических ожиданий наблюдаемых значений y₁,..., y_Т, _y – ковариационная матрица значений y_t, определяемая следующим выражением:
_y =
где значения и следует интерпретировать как дисперсии и ковариации случайных переменных y_t и y_t и y_t+j соответственно^*.

В “классическом” варианте ММП в отношении зависимой переменной y_t выдвигается предположение о независимости распределений значений y_t, рассматриваемых в разные моменты времени t=1, 2,..., T, и о постоянстве их разновременных дисперсий относительно математических ожиданий .

В этом случае матрица _y имеет следующий вид:
_y =  Е = 
где – постоянная дисперсия переменных y₁,..., y_T; Е – единичная матрица ТТ.

3. Функция плотности закона распределения ошибки _t эквивалентна функции плотности закона распределения переменной y_t , т. е.  (_t )= (y_t ), и в общем случае (_t )N(0, _ ).

Данное предположение вытекает из того факта, что производные ошибок по соответствующим значениям y_t равны 1, т. е. , а производные ошибок по разновременным значениям y_t–j равны нулю, j=1,2,..., т. е. . Это непосредственно устанавливается прямым дифференцированием выражения у_t =₀+₁ х_1t +...+_n х_nt +_t в предположении, что _i и у_j независимы при ij. Напомним, что плотность закона совместного распределения значений у_t (условного распределения) взаимосвязана с плотностью закона совместного распределения ошибки _t, t=1, 2,..., T следующим образом:
 (y / Х )= ()/y, (2.106)
где /y– якобиан перехода от переменной  к y, рассчитываемый как абсолютное значение следующего определителя:

/y =

В соответствии с тем, что , а , ij, получаем, что /y=1 и (y /Х )= ().

Из этого факта вытекает, что соответствующие плотности распределения ошибки  имеют следующий вид:

 (_t )N(0, ); = ;

 (₁,..., _T ) = N (0, _), _= _y, (2.107)

С учетом (2.107) условия независимости разновременных переменных у_t и постоянства их дисперсий переходят в соответствующие условия для разновременных значений ошибки _t и тогда вместо выражения (2.105) можно записать
_y=_=_²Е. (2.108)
Выражение (2.108) c учетом свойства M[]=0 определяет истинную ошибку модели _t как процесс “белого шума”, т. е. как стационарный процесс с постоянным (нулевым) математическим ожиданием (M[_t]=у_t–M[у_t]=0), постоянной, независящей от времени дисперсией ( = ) и нулевыми ковариационными (корреляционными) связями между ее разновременными значениями _t и _{t– 1}, _t и _t–2 и т. д.

В основе метода максимального правдоподобия лежит исходное предположение о том, что “лучшим” оценкам a₀^*, a₁^*,..., a_n^* “истинных” значений параметров эконометрической модели ₀, ₁,..., _n должен соответствовать наиболее вероятный набор “фактических” значений ошибки е₁^*, е₂^*,..., е_T^*, рассматриваемых как “своего рода оценки” ее истинных значений ₁, ₂,..., _T и поэтому удовлетворяющих вышеприведенным предположениям.

Таким образом, максимум произведения р(е₁)р(е₂)...р(е_Т) соответствует наиболее вероятному сочетанию значений _t, t=1, 2,..., T, обеспечиваемому “наилучшими” оценками параметров модели. При этом имеется в виду, что для произвольного набора значений фактической ошибки е₁, е₂,..., е_T произведение вероятностей р(е₁)р(е₂)...р(е_Т ) в данном случае выражает вероятность совместного распределения их значений, соответствующих определенному набору оценок параметров a₀, a₁,..., a_n.

С учетом этого, решение задачи оценки параметров линейной эконометрической модели типа (1.2) может быть получено в результате максимизации целевой функции следующего вида:

по неизвестным параметрам ₀ , ₁ ,..., _n и _² при заданных массивах исходных данных, выражаемых вектором известных значений зависимой переменной у_t и матрицей значений независимых факторов Х размера Т(п+1).
y = Х = , (2.110)
в которой столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели ₀.

1. 2.5.2. Процедура получения оценок максимального правдоподобия

Целевая функция типа (2.109) называется функцией максимального правдоподобия. Несложно заметить, что оптимальные значения оценок параметров a₀^*, a₁^*,..., a_n^* и дисперсии фактической ошибки _e², соответствующие ее максимуму, должны обеспечивать и максимум ее логарифма. Иными словами, при определении значений этих оценок можно решать задачу максимизации В таком случае в условиях независимости разновременных ошибок _t и _t–i

Не принимая во внимание первое постоянное слагаемое в правой части выражения (2.111), заметим, что оптимальные значения a₀^*, a₁^*,..., a_n^* и _e² в этом случае могут быть найдены путем решения следующей системы из п+2-х дифференциальных уравнений в частных производных по этим параметрам:

Для получения более компактной векторно-матричной формы записи решения системы (2.112) представим линейную эконометрическую модель в векторно-матричной форме:
у=Х+, (2.113)
где вектор у и матрица Х определены выражением (2.110) и вектор ошибки  имеет такой же вид, как и вектор у; вектор параметров =(₀, ₁,..., _n).

На основании (2.113) вектор ошибки можно представить в следующем виде:

=у –Х, (2.114)
и последнее слагаемое в выражении (2.111) записать как скалярное произведение вектора ошибки строки на ее столбец. С учетом этого выражение (2.111) приобретает следующий вид:
(у–Х)(у –Х). (2.115)
Дифференцируя выражение (2.115) по неизвестному вектору параметров  и по неизвестной дисперсии ошибки _², получим следующую векторно-матричную форму записи системы (2.112):

l/ = (– Ху+ ХХ)=0;

l/_²= (у –Х)(у –Х)=0. ^(2.116)
Поскольку _²0, из первого уравнения системы (2.116) непосредственно получаем вектор оценок ММП коэффициентов линейной эконометрической модели в следующем виде:
a^*=a=(ХХ )^–1Ху, (2.117)
а из второго – оценку ММП дисперсии ошибки эконометрической модели:
_е² = (у –Хa)(у –Хa)=
Заметим, что выражение (2.117) ничем не отличается от своего аналога (2.8), полученного с использованием МНК, а оценка дисперсии ошибки модели, полученная на основании выражения (2.118), является смещенной. Вследствие этого на практике используют несмещенную оценку дисперсии, определяемую следующим образом^*:

Известно, что оценки параметров, полученные с использованием ММП, обладают свойством состоятельности^** :

plim(a)=,

plim(_e²)=_²,

имеют асимптотически нормальное распределение и асимптотически эффективны,
a  

N , I ^–1 ,

_e² _² _²

где – символ асимптотического приближения, в данном случае закона распределения вектора-столбца оценок к закону нормального распределения с параметрами – их математическими ожиданиями (,_²) и ковариационной матрицей I^–1(,_²), обратной так называемой информационной матрице этих параметров.

Заметим, что состоятельность оценок ММП следует из совпадения с оценками МНК, которые, как было показано в разделе 2.1.2, являются состоятельными. Асимптотические свойства оценок ММП также определяются стремлением к нулю их дисперсий с ростом числа измерений, что следует из свойств элементов матрицы I^–1(,_²).

Напомним, что I (z) – информационная матрица случайного вектора z, определяется следующим образом:
I (z)= – M[²l/ z  z], (2.120)
где матрица ²l/zz имеет следующий вид:
²l/ z  z =
и в нашем случае k=n+2 и z₁=a₀,..., z_{k– 1}=a_n , z_k =_².

Выполнив двойное дифференцирование выражения (2.116) по вектору  и _², получим

²l/=–ХХ/_² ; –M[²l/]=–ХХ/_² ;

²l/_²=–Х/_⁴; –M[²l/_²]=0.

Последнее равенство выполняется в силу предполагаемой независимости значений факторов х_it (столбцов матрицы X) и ошибки , являющейся “белым шумом”.
²l/(_²)²=T/2_⁴–/_⁶; –M[²l/(_²)²]=T/2_⁴, поскольку M[]=T_².
Таким образом, информационная матрица вектора (, _²) определяется следующим выражением:
^I
а ковариационная матрица этого вектора имеет следующий вид:
^I–1

где (ХХ)^–1 – представляет собой ковариационную матрицу вектора оценок параметров , а – дисперсию дисперсии модели _².

Из выражения (2.123) вытекает, что ковариационная матрица вектора оценок параметров линейной эконометрической модели (1.2) имеет следующий вид:
Cov(a)=_² (ХХ)^–1=_a_e² (ХХ)^–1. (2.124)
В выражении (2.124) учтено, что на практике оценка дисперсии истинной ошибки _² может быть заменена ее оценкой _e², определенной согласно выражению (2.119) с использованием “фактических” значений ошибки e_t .

Из выражения (2.124) непосредственно следует, что дисперсии оценок параметров линейных эконометрических моделей , определенных по ММП, являются диагональными элементами матрицы _e²(ХХ)^–1. Напомним, что среднеквадратические ошибки этих параметров ( ) используются при определении значимости факторов модели (см. выражение (1.25)).

Таким образом, из результатов раздела 2.5 вытекает, что при предположении о нормальном законе распределения ошибки эконометрической модели и ее свойствах, определенных выражениями (2.20)–(2.24), оценки ее коэффициентов, полученные с использованием методов максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают. Аналогичное совпадение отмечается и у ковариационных матриц этих оценок. Несложно показать, что в этих условиях у МНК и ММП совпадают также оценки параметров эконометрических моделей, полученные при ограничениях на их значения (см. выражение (2.91)).

Если же ошибки модели распределены по другому закону (например, Гаусса с тяжелыми хвостами, Стьюдента и т. п.), то вообще говоря, выражения для оценки коэффициентов, полученные на основе ММП, будут отличаться от их аналогов, полученных с использованием МНК.

1. Вопросы к главе II

1. 
   Каковы предпосылки «классического» метода наименьших квадратов (МНК)?
   
2. 
   В чем суть МНК?
   
3. 
   Приведите формулы расчета оценок коэффициентов линейной модели по МНК?
   
4. 
   Какими свойствами обладают МНК-оценки классической линейной эконометрической модели?
   
5. 
   Перечислите свойства фактической ошибки эконометрической модели.
   
6. 
   Каким образом тестируется условие постоянства дисперсии ошибки модели?
   
7. 
   Каким образом проверяется наличие автокорреляции ошибок модели?
   
8. 
   Как оценивается дисперсия истинной ошибки модели?
   
9. 
   Каковы последствия мультиколинераности факторов?
   
10. 
    Как проверяется обратимость матрицы ХХ?
    
11. 
    Каковы последствия неправильного выбора состава независимых переменных модели?
    
12. 
    Каковы особенности оценивания параметров с учетом наложенных ограничений?
    
13. 
    Перечислите предпосылки метода максимального правдоподобия (ММП)?
    
14. 
    Опишите процедуру получения оценок параметров эконометрической модели с помощью ММП.
    
15. 
    Какими свойствами обладают ММП-оценки параметров?
    
16. 
    Каким образом оценивается дисперсия истинной ошибки модели?
    

2. Упражнения к главе II

Задание 2.1

Для 13 клиентов спортивного отдела магазина зафиксирована сумма покупки х_t (в у. е.) и время разговора с продавцом y_t (в мин.). Данные представлены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

х_t40506080100110120130150160180200310y_t14141719172024222524182026

Требуется:

1. Оценить с помощью МНК параметры линейного регрессионного уравнения, предположив, что переменная “длительность разговора с продавцом” объясняется переменной “величина покупки”.

2. Оценить с помощью МНК параметры линейного регрессионного уравнения, предположив, что переменная “величина покупки” объясняется переменной “длительность разговора с продавцом”.

3. Нарисовать диаграмму рассеяния величин (х_t, y_t) и обе линии регрессии. Объяснить, почему, если поменять экзогенную и эндогенную переменные местами, как правило, получаются различные уравнения регрессии.
Задание 2.2

Имеется классическое линейное однофакторное уравнение регрессии, параметры которого оценены обычным МНК,

Требуется:

1. Доказать, что сумма остатков равна нулю:

2. Доказать, что , среднее значение наблюдаемой зависимой переменной равно среднему значению ее оценок, рассчитанных по уравнению регрессии.

3. Доказать, что

4. Доказать, что

5. Доказать, что

6. Показать, что
т. е. коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции между переменными х_t и у_t.

7. Показать, что

8. Показать, что

Задание 2.3

Имеется линейное однородное однофакторное уравнение регрессии y_t= х_t+_t (t=1,..., Т).

Требуется:

1. Вывести формулу МНК для расчета определения оценки a регрессионного параметра .

2. Покажите, что оценка a, полученная МНК, является несмещенной оценкой параметра .

3. Определите дисперсию оценки a.

Задание 2.4

Исследуется зависимость затрат на рекламу у от годового оборота х в некоторой отрасли. Для этого собрана информация по Т=20 случайно выбранным предприятиям этой отрасли о годовом обороте х_t и соответствующих расходах на рекламу y_t (в млн. руб.). Из выборки получены следующие данные: Предполагается, что зависимость y_t от х_t описывается следующим уравнением: y_t =₀+₁ х_t+_t (t=1,..., 20).

Требуется:

1. Оценить параметры ₀ и ₁ с помощью МНК.

2. Оценить дисперсию _² “истинной” ошибки _t.

3. Оценить дисперсии оценок a₀ и a₁ и их ковариацию.

Задание 2.5

Для данных задания 2.3 установлено, что “истинная” ошибка распределена нормально.

Требуется:

1. Определить 95%-е доверительные интервалы для параметров регрессии ₀ и ₁.

2. Проверить, можно ли утверждать, что с вероятностью 95% ₀  K₀ ₁  K₁, где K₀ и K₁ – доверительные интервалы соответственно параметров ₀ и ₁, построенные в п. 1.

3. Определить 95%-й доверительный интервал для дисперсии “истинной” ошибки _t.

Задание 2.6

Для анализа зависимости целевой переменной у от объясняющей переменной х получена выборка, состоящая из Т=50 наблюдений, и определены следующие показатели: В основу исследования положена классическая линейная однофакторная модель нормальной регрессии y_t =₀+ ₁ х_t +_t (t=1,..., 50).

Требуется проверить следующие гипотезы:

1. H₀¹: ₁ ₁₀ =1 при уровне значимости =0,05.

2. H₀²: ₀ ₀₀ =50 при уровне значимости =0,05.

3. H₀³: _ ² ₀ ² =25 при уровне значимости =0,05.

Задание 2.8

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

Требуется:

1. С помощью МНК оценить параметр регрессии .

2. Рассмотреть линейное однофакторное уравнение y_t=х_t+_t, где y_t=1/y_t и  =1/, и установить, какое соотношение существует между случайными ошибками _t и _t.

3. С помощью МНК рассчитать оценку a параметра регрессии  и сравнить ее с оценкой из п. 1.

4. На основе трех пар наблюдений (х_t, y_t) – (4; 2,5); (2; 5); (10; 1;25) – показать, что оценки из пп. 1 и 3 в общем случае не совпадают.

Задание 2.9

Имеется выборка, состоящая из Т=6 пар наблюдений (х_t, у_t): (2,0; 0,0); (2,5; 0,5); (3,0; 1,0); (4,0; 1,0); (4,5; 0,5) и (5,0; 0,0), которая характеризует особый случай представления данных.

Требуется:

1. Нарисовать диаграмму рассеяния и выяснить, о каком особом случае идет речь.

2. Построить регрессионное уравнение для этого случая и прокомментировать его.

3. Рассчитать коэффициент детерминации и проинтерпретировать его.

4. Определить, что изменится, если принять, что первые три и последние три пары значений относятся к разным генеральным совокупностям.
Задание 2.10

Рассмотрим линейную однофакторную регрессионную модель, в которой экзогенные переменные принимают только два значения 0 и 1, т. е. являются индикаторами.

Требуется:

1. Определить общий вид уравнения регрессии.

2. Для 30-летних коммерсантов с высшим образованием объяснить уровень месячного дохода с помощью переменной “пол”, если для 6 случайно выбранных женщин месячные доходы составляют 3750, 3910, 4230, 3890, 4090, 4130, а для 6 случайно выбранных мужчин – 4850, 3950, 4210, 5580, 5170 и 4740. Построить соответствующее уравнение регрессии.
Задание 2.11

Имеется линейная классическая нормальная модель множественной регрессии

y_t = ₀ + ₁ х_1t +...+_n х_nt +_t.
Требуется:

1. Рассмотреть функцию плотности распределения вектора “истинной” ошибки  и показать, что из того, что вектор  имеет нормальное Т-мерное распределение, следует, что отдельные ошибки _t (t=1,2,...,Т) являются независимыми друг от друга и нормально распределенными с параметрами M[_t]=0 и D[_t]=_² .

2. Определить, как распределен вектор эндогенных переменных y, и какова функция плотности распределения этой переменной.

3. Показать, что вектор оценок a, полученный обычным МНК, является оценкой максимального правдоподобия для .

4. Определить, как распределен вектор оценок a, и какова функция плотности распределения этого случайного вектора.
Задание 2.12

Имеется классическая линейная модель множественной регрессии, записанная в отклонениях,

где _t^*– стохастическая ошибка.

Требуется:

1. Показать, что форма этой модели эквивалентна форме классической линейной модели множественной регрессии

y_t = ₀ + ₁ х_1t +...+_n х_nt + _t.
2. Определить вектор оценок параметров a^* =( a₁^* ,..., a_n^* ).

3. Построить ковариационную матрицу вектора оценок a^*.

Задание 2.13

Имеется классическая линейная модель множественной регрессии, записанная в отклонениях,

Требуется:

1. Показать, что для значений a₍₀₎ =( a₁ ,..., a_n ) выполняется следующее соотношение:
a₍₀₎ =( Х^* Х^*)^–1 Х^* у^*.
2. Показать, что значение может быть определено по следующей формуле:

где

Задание 2.14

Экзогенные переменные линейного уравнения множественной регрессии претерпевают следующие преобразования:

где c_1iR, c_2i 0, i=1,..., n.

Требуется:

1. Показать, что МНК-оценки параметров регрессии a₍₀₎^p=(a₁^p,..., a_n^p) после таких преобразований определяются по следующим формулам:

где

2. Показать, как изменятся МНК-оценки a₍₀₎=(a₁,..., a_n), если от исходных экзогенных переменных перейти к стандартизованным переменным.

3. Показать, что для ковариационной матрицы вектора оценок a₍₀₎^p выполняется следующее соотношение:

Cov(a₍₀₎^p) = C²  Cov(a₍₀₎).
4. Показать, что в результате такого линейного преобразования не меняется оценка дисперсии ошибки.


Задание 2.15

Изменение спроса на некоторое благо (у) у домашних хозяйств определенной структуры можно объяснить с помощью цены этого блага (х₁) и дохода домохозяйства (х₂). Соответствующая информация представлена в табл. 2.2.

Таблица 2.2

y_t31,430,432,131,030,529,831,131,730,729,7х_1t4,14,24,04,64,05,03,94,44,54,8х_2t1050101010701060100010401030108010501020

Требуется:

1. Оценить с помощью МНК параметры линейного двухфакторного уравнения
y_t = ₀ + ₁ х_1t +₂ х₂ + _t
и интерпретировать оценки.

2. Оценить дисперсию ошибки _².

3. Рассчитать оценку математического ожидания при х₁=5,5 и х₂=980.
Задание 2.16

Изменение спроса на некоторое благо (у) у домашних хозяйств определенной структуры можно объяснить с помощью цены этого блага (х₁) и дохода домохозяйства (х₂). Соответствующая информация представлена в табл. 2.2. (см. задачу 2.15).

Требуется:

1. Построить однофакторные уравнения спроса у от цены (х₁) и от дохода (х₂). Оценить с помощью МНК параметры этих уравнений.

2. Сравнить оценки параметров из п. 1 с соответствующими оценками из задачи 2.15 п. 1. Кроме того, определить с помощью каждого из уравнений регрессии прогнозные значения математического ожидания целевой переменной при х₁=5,5 и х₂=980. Сравнить эти значения с прогнозным значением из решения задачи 2.15 п.3. Какое прогнозное значение предпочесть?
Задание 2.17

На основании данных из задания 2.15 построено двухфакторное уравнение регрессии. Установлено, что ошибки _t этого уравнения имеют нормальное распределение.

Требуется:

1. Определить одномерные 95%-е доверительные интервалы для параметров регрессии ₀, ₁ и ₂.

2. Определить 95%-й доверительный интервал дисперсии ошибки _².
Задание 2.18

На основании данных из задания 2.15 построено двухфакторное уравнение регрессии. Установлено, что ошибки _t этого уравнения имеют нормальное распределение.

Требуется:

1. Для уровня значимости =0,01 проверить гипотезы H₀₀:₀=₀₀=12,0; H₁₀: ₁=₁₀=–1,5; H₂₀: ₂=₂₀=0,01.

2. Для уровня значимости =0,01 проверить гипотезу H₀:_²=₀²=0,01.
Задание 2.19

На основании данных из задания 2.15 с помощью МНК построено двухфакторное уравнение регрессии. Установлено, что ошибки _t этого уравнения имеют нормальное распределение.

Ранее было проведено исследование, которое дало для параметров регрессии следующие оценки: ₀₀=13,311; ₁₀=–1,4896 и ₂₀=0,022998.

Требуется при уровне значимости =0,025 проверить гипотезу, что структура модели не изменилась.

Задание 2.20

Для линейного уравнения множественной регрессии определен коэффициент детерминации D.

Требуется:

1. Показать, что для D выполняется следующее:

2. Показать, что для D также выполняется соотношение

где

Задание 2.21

Для линейного уравнения множественной регрессии определен коэффициент детерминации D.

Требуется:

1. Показать, что D равен квадрату коэффициента корреляции пары значений

2. Показать, что D не меняется, если переменные у и х₁,..., х_n претерпевают линейные преобразования.
Задание 2.22

Для уравнения линейной множественной регрессии определены корреляционный вектор r, корреляционная матрица Q и коэффициент детерминации D.

Требуется:

1. Показать, что

где
2. Показать, что

3. Показать, что

Задание 2.23

В табл. 2.3 представлена информация о Т=10 значениях двух объясняющих переменных x₁, x₂ и целевой функции y.

Таблица 2.3

x_1t10,318,516,322,510,516,814,019,113,018,0x_2t2,58,63,76,57,89,11,92,73,05,2Y24,848,337,051,829,143,030,141,029,140,1

Tребуется:

1. Оценить с помощью МНК параметры линейного двухфакторного уравнения регрессии
y_t = ₀ + ₁ х_1t +₂ х₂ + _t.

2. Рассчитать значение коэффициента детерминации D и интерпретировать его.

3. Определить корреляционный вектор r и корреляционную матрицу Q.

4. Проверить для этого примера равенство

5. Определить скорректированный коэффициент детерминации и сравнить его со значением обычного коэффициента детерминации D.
Задание 2.24

В табл. 2.4 представлена информация о Т=10 парах наблюдений объясняющей переменной x и целевой переменной у.

Таблица 2.4

x15,88,414,58,611,819,521,44,79,813,5у18,310,116,911,414,919,922,87,810,316,6

Требуется:

1. С помощью МНК оценить параметры линейного однофакторного уравнения регрессии
y_t =₀+ ₁ х_t +_t (t=1,..., Т) .
2. Проверить при уровне значимости =0,025 гипотезу, что ₀=2₁.

3. Определить оценки параметров уравнения с учетом априорной информации, что ₀ =2₁.

4. Построить точечные прогнозы целевой переменной при х=30,0 по уравнениям, оцененным без учета и с учетом априорной информации.
Задание 2.25

Имеется априорная информация о гомогенности линейного однофакторного уравнения регрессии:

y_t =₀+ ₁ х_t +_t , (t=1,..., Т)
т. е. ₀=0.

Требуется:

1. Оценить параметры уравнения с учетом априорной информации и сравнить полученные оценки с решением задачи 2.3 п.1.

2. Определить ковариационную матрицу вектора оценок параметров.

• 
  <предыдущая страница | следующая страница>