ГЛАВА III. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ C НЕСТАНДАРТНЫМИ ОШИБКАМИ

В данной главе рассматриваются основные подходы к оценке коэффициентов эконометрических моделей, свойства которых отличаются от “стандартов”, определенных в главе II условиями (2.21)–(2.23). Иными словами, у “нестандартной” ошибки ее ковариационная матрица может быть отлична от диагональной матрицы Cov()_²Е, что является следствием существования корреляционных взаимосвязей между ее разновременными значениями на интервале (1, Т), дисперсия ошибки может не обладать свойством постоянства, _²const (гетероскедастичность ошибки) или ошибка  может быть связана с одной или несколькими независимыми переменными эконометрической модели х_i.

Первый случай (наличия автокорреляционных взаимосвязей в ряду ошибки _t, t=1,2,..., Т) формально может быть выражен следующим условием:
Соv()==_², Е, (3.1)
где  – ковариационная матрица ошибок модели;  – матрица коэффициентов автокорреляции модели, отличная от единичной; _²=const.

В общем случае матрица  может быть представлена в следующем виде:

 =
где, напомним, что _k – коэффициент автокорреляции рядов ошибки _t и _t–k, k-го порядка, значение которого рассчитывается для k=1,2,... по формуле:

Во втором случае ковариационная матрица ошибки имеет следующий вид:

Сov()==
(3.4)
где формально ₁²₂² ..._Т², т. е. дисперсия ошибки не постоянна, а _² – постоянный множитель, _t – переменные коэффициенты, t=1,2,..., Т. Выражение (3.4) характеризует свойство ошибки, известное в эконометрике как гетероскедастичность остатков. Иными словами, ряд ошибки характеризуется нестационарностью второго порядка, т. е. непостоянством второго центрального, а, значит, и начального моментов на интервале (1,Т), в то время как первый момент – математическое ожидание ошибки – принимает на этом интервале постоянное значение, равное нулю.

В эконометрических исследованиях теоретически возможна ситуация, когда оба рассмотренных случая встречаются одновременно, т. е. когда в ряду ошибки имеются автокорреляционные зависимости и ее дисперсия непостоянна.

Третий случай характеризуется нарушением условия (2.23), что означает отличие от нуля ковариации хотя бы одной независимой переменной х_i и ошибки модели  или, что то же самое, отличие от нуля их парного коэффициента корреляции, cov(х_it, _t)0,

Нарушение условий (2.21) и (2.22) приводит к тому, что оценки коэффициентов эконометрических моделей, полученные на основе “классических” методов МНК и ММП, теряют некоторые свои “качества”. Прежде всего это относится к свойству эффективности оценок, полученных при ограниченных объемах выборки.

Нарушение условия (2.23), как это следует из выражения (2.10), приводит к потере оценками коэффициентов модели свойства несмещенности. Заметим, что если условия (2.21)–(2.23) не выполняются при Т, то оценки коэффициентов не обладают свойствами асимптотической эффективности и несмещенности (состоятельности).

Такая ситуация, в свою очередь, заставляет эконометриков искать определенные подходы, приемы получения “качественных” оценок параметров эконометрических моделей и при свойствах их ошибок, отличных от тех, которые были определены стандартными условиями (2.21)–(2.23).

Данные подходы и приемы обычно базируются на так называемых обобщенных методах оценивания – обобщенном МНК (ОМНК) и обобщенном ММП (ОММП), на использовании при получении оценок параметров моделей так называемых “инструментальных переменных”. Рассмотрим особенности этих подходов более подробно.

1. 3.1. Обобщенные методы оценивания параметров эконометрических моделей

2. 3.1.1. Обобщенный метод наименьших квадратов

Рассмотрим основные последствия нарушения условия (2.21) для оценок параметров эконометрической модели, полученных с использованием “классических” методов оценивания, например, МНК.

Как было показано в разделе 2.1, применение обычного МНК для определения коэффициентов эконометрической модели при условии _²Е в этом случае приводит к следующим результатам (см. выражения (2.9) и (2.15)):

– оценка вектора параметров модели является случайной величиной, которую можно представить в следующем виде:
a=+(XX)^–1X; (3.5)
– ковариационная матрица этих оценок определяется следующим выражением:
Cov(a)=(XX)^–1XX(XX)^–1=_²(XX)^–1XX(XX)^–1_²(XX)^–1.(3.6)
Из выражений (3.5) и (3.6), в частности, вытекает, что вектор а является несмещенной оценкой вектора истинных значений параметров эконометрических моделей  и в случае конечных объемов выборки детерминированных исходных данных (Т – конечно) и асимптотически несмещенной оценкой при стохастических исходных данных, поскольку в этих случаях при соблюдении условия M[|x]=0 имеем M[а]=M_x[M[а|x]]= (см. выражение (2.36)).

Однако из (3.6) также следует, что при конечных объемах выборки оценки, найденные с использованием обычного МНК, являются неэффективными. При этом отметим, что неравенство (3.6) обусловлено не только различиями матриц (XX)^-1XX(XX)^–1 и (XX)^–1, но и тем обстоятельством, что используемая на практике оценка дисперсии модели _²

может быть смещенной в силу существующих зависимостей в ряду ошибки (между разновременными значениями ошибки).

Вместе с тем можно показать, что при Т оценки обычного МНК и в этих условиях при выполнении некоторых предположений являются состоятельными и асимптотически эффективными. Для этого перепишем выражение (3.6) в следующем виде:

Cov (a) =
Из (3.7), в частности, вытекает, что элементы матрицы Cov(a)0, и вектор a является состоятельной оценкой вектора  при Т, если в этом случае матрицы являются конечными и положительно определенными.

Можно показать, что эти предположения выполняются, если

а) наименьший характеристический корень матрицы (XX) неограниченно возрастает при Т, что влечет за собой выполнение условия:
plim(XX)^–1=0;
б) наибольший характеристический корень матрицы  ограничен по величине для всех Т.

В частности, в случае гетероскедастичной ошибки последнее условие означает, что в выражении (3.4) элементы матрицы  – 1/_i – ограничены сверху, т. е. параметры _i ограничены снизу.

Для получения эффективных оценок параметров эконометрических моделей при нарушении условия (2.18), т. е. когда Cov(a)_²(XX)^–1, в общем случае может быть использован обобщенный метод наименьших квадратов, разработанный А. Эйткеном.

Математическое обоснование ОМНК базируется на свойстве положительно определенной^* ковариационной матрицы , допускающей представление в виде произведения двух матриц:

=, (3.8)
где матрица  — невырожденная.

Из (3.8) непосредственно вытекает, что

^–1()^–1=Е, (3.9)

и

()^–1^–1=^–1. (3.10)

Для доказательства равенства (3.9) достаточно левую и правую часть выражения (3.8) умножить слева на ^–1 и справа на ()^–1.

Равенство (3.10) непосредственно вытекает из свойств обращения произведения матриц.

Предположим, что матрица  известна. Умножим матрично-векторное уравнение исходной эконометрической модели у=Х+ слева на матрицу ^–1 и получим
у_*=Х_*a+_*, (3.11)

где

у_*=^–1у; Х_*=^–1Х ; _*=^–1 . (3.12)
Покажем, что ковариационная матрица вектора _* равна Е. Для этого запишем:
Cov(_*)=M[_*, _*]=M[^–1_*_*^–1]=^–1^–1=E. (3.13)
Из (3.13) непосредственно вытекает, что _²=1.

Применяя к модели (3.11) обычный метод наименьших квадратов, получим вектор оценки a из следующего выражения:

a=(Х_*Х_*)^–1Х_*у_*=(Х^–1Х)^–1Х^–1у. (3.14)
Несложно показать, что оценки коэффициентов a, полученные на основании выражения (3.14), обладают свойствами несмещенности при конечном Т в случае детерминированных, а также и состоятельностью и асимптотической несмещенностью при Т – в случае стохастических исходных данных. Доказательство этих свойств при условии независимости значений столбцов матрицы Х и  в первом случае и асимптотических свойствах этих переменных (см. выражение (2.38)) – во втором приведены в разделе 2.1.

В частности, вектор а является несмещенной оценкой ОМНК вектора , если M[_*|Х_*]=0. С учетом (3.12) это условие эквивалентно выражению M[^–1|^–1Х_*]=0, которое выполняется при конечной матрице ^–1 и исходном предположении МНК M[_*|Х_*]=0 о независимости факторов и ошибки эконометрической модели.

Ковариационная матрица оценок параметров, полученных на основании (3.14), определяется следующим выражением:
Cov(a)=(Х_*Х_*)^–1=(Х^–1Х)^–1=_²(Х ^–1Х)^–1. (3.15)
Последний результат получен, принимая во внимание свойство ошибки _* (3.13) и представления матрицы  в виде _² (постоянный множитель _² выносится за скобки). С учетом этого очевидного результата выражение (3.14) может быть также представлено в следующем виде:
a=(Х^–1Х)^–1Х^-1у. (3.16)
Аналогично, как и в разделе 2.1 (см. выражения (2.39)–(2.41)), доказываются свойства асимптотической несмещенности и состоятельности оценок ОМНК. В частности, из выражения (3.15) вытекает, что эти свойства имеют место, если матрица plim является ограниченной положительно определенной матрицей. В этом случае из (3.15) следует, что
Cov(a)=
В заключении данного раздела заметим, что матрица , определенная выражением (3.4), для гетероскедастичной ошибки эконометрической модели, также является положительно определенной, а, следовательно, допускает представление (3.8). Из этого факта вытекает, что выражения (3.14) и (3.16) могут быть использованы для оценки коэффициентов этой модели и при гетероскедастичных ошибках с учетом замены ковариационной матрицы этих ошибок вида (3.1) на (3.4). Аналогичным образом и ковариационная матрица оценок параметров модели при ковариационной матрице ее ошибок, определенной выражением (3.4), находится из выражения (3.15).

1. 
   <предыдущая страница | следующая страница>