Урок геометрии в 10 классе

Открытый урок геометрии

в 10 классе
тема:

Подготовила и провела

учитель математики высшей квалификационной категории

МОУ «Школа №55»

Постоева Ольга Алексеевна

Курск

1)Основные цели:	1. Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме. 2. Показать место и значимость изученной темы в жизни, ее красоту, установить связь темы с другими школьными предметами. 3. Развивать познавательную и творческую деятельность учащихся, навыки самостоятельного поиска новых знаний, пробуждать любознательность. 4. Развивать культуру коллективного умственного труда, формировать и развивать интерес учащихся к занятиям математикой, расширять математический кругозор учащихся.
2) Тип урока:	Урок обобщения и систематизации знаний
3) Форма:	Математическая композиция.
Оборудование:	Модели многогранников, таблицы, рисунки, репродукции картин, магнитофон, цветной мел, коллекция одежды, модели кристаллических решеток, портреты ученых, макеты храмов.

Организация класса на работу.

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с большим аппетитом…»

Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни. Тем более, что сегодня у нас немного необычный урок – урок, который мы готовили с вами вместе.

А теперь, я обращусь в нашим гостям, моим коллегам. Уважаемые гости, перед вами 10 «Г» класс. Но сегодня это не просто класс, а я не побоюсь этого слова, самый настоящий НИИ. Для подготовки этого урока они разделились на группы научных консультантов: это консультанты по призмам, пирамидам и правильным многогранникам. В каждой группе есть ребята с разными интересами. Среди них есть любители математики и физики, истории и географии, химии, астрономии, среди них можно встретить будущих архитекторов и инженеров, модельеров и дизайнеров.

Да, они все разные! Но вот уже несколько дней их объединяет общее дело – они трудятся над составлением математической композиции. Перед ними была поставлена цель: взяв за основу знания по теме «Многогранники», полученные на уроках геометрии, самостоятельно добыть новые знания, посмотрев на изученную тему глазами своего любимого предмета или своей будущей профессии, тем самым максимально приблизить изученную тему к жизни.

Итак, математическая композиция на тему: «Многогранники»

Вступительное слово учителя:

«Никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг – геометрия». Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье в начале 20 века, очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека.

Как уже было сказано, сегодняшний урок мы посвящаем многогранникам – простейшим темам пространства. Многогранных форм так много, что многие из них даже не имеют специальных названий. Я с удовольствием приглашаю вас в многогранную галерею, где вы встретитесь с наиболее известными, наиболее красивыми из многогранников.

Составление математической композиции.

III. А. Призмы

Первыми внесли свой вклад в дело построения математических композиций, я приглашаю научных консультантов группы «Призмы»

а) Фронтальный опрос по теме «Призмы» (проводит консультант по «призмам» со всем классом, показывая модели призм).

Давайте вместе вспомним один из видов выпуклых многогранников – призмы. Дайте, пожалуйста, определение призмы.
Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, четырехугольник – четырехугольной и т.д. А какими фигурами являются боковые грани призмы?
Среди призм можно выделить наклонные и прямые призмы, среди последних, в свою очередь, выделяют правильные призмы. Давайте дадим определение каждому виду призм.
Что представляют собой боковые грани правильной призмы?
Среди четырехугольных призм выделяют параллелепипеды. Что это за призмы?
В каком случае параллелепипед называется прямым, а в каком прямоугольным?
Какое свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда вы знаете?
Что такое куб?

б) Где же в жизни можно встретить призмы.

(сообщения учащихся с демонстрацией моделей и рисунков)

Кубики – любимая игра малышей, кубик-рубик – развивает пространственное мышление детей постарше.

Я предлагаю вам решить такую задачу: (по готовому чертежу)

Чему равен угол между отрезками, проведенными на гранях куба?

(60^о)

Форму шестиугольной призмы имеют соты пчел, а также еще один знакомый вам предмет. Это шестигранный карандаш. А сколько у него граней? (восемь).

А задумывались ли вы, почему карандаш имеет? Дело в том, что карандаш – то это тот же самый графит. Давайте рассмотрим кристаллическую решетку графита. Атомы углерода в графите образуют слои, в каждом из которых они размещены по вершинам правильных шестиугольников. Атомы углерода в шестиугольных ячейках расположены друг от друга на расстоянии 0,143 нм (1 нанометр=10^-9м). Расстояние между слоями составляет 0,335нм, т.е. примерно в 2 раза больше. Силы взаимодействия атомов углерода, принадлежащих разным слоям значительно меньше сил взаимодействия атомов в каждом слое. Когда мы жмём карандашом, связи атомов в кристаллической решетке графита разрываются по боковым ребрам призмы и на бумаге остается тонкий слой графита. Итак, кристаллическая решетка графита имеет форму правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой 0,143 нм, а боковое ребро 0,335 нм. Определите площадь боковой поверхности призмы (ответ округлить до десятых).

Кристаллическую решетку в форме призм имеют и многие другие вещества. Так, например, если кристалл NaCl (поваренная соль) вырастить в перемешивающемся растворе, то его форма будет близка к кубу. Однако если раствор не перемешивать, то получится NaCl кристалл хлористого натрия, похожий на прямоугольный параллелепипед. А если в раствор добавить небольшое количество мочевины, то кристаллы вырастут в форме октаэдров.

А вот элементарная ячейка кристалла СО₂ – кубическая решетка (СО₂– углекислый газ, в определенных условиях – твердое тело). Кристаллическая решетка меди тоже куб.
ПИРАМИДЫ

III. Б. Для дальнейшего построения математической композиции, я передаю слово нашим научным консультантам, представляющим пирамиды.

а) Фронтальный опрос по теме «Пирамида» с демонстрацией моделей (проводит консультант).

1. Пирамида. Что это за многогранник?

2. Пирамиды, в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, бывают треугольные, четырехугольные…. и т.д. А какими многоугольниками являются боковые грани пирамиды?

3. Из всех пирамид выделяют правильные пирамиды. Что это за пирамиды?

4. Что можно сказать о боковых гранях такой пирамиды?

5. Дайте определение апофемы правильной пирамиды.

б) Передаем слово любителям истории и географии (сообщения учащихся с демонстрацией моделей и рисунков).

Слово «пирамида» - латинская форма греческого слова «пюрамис», так греки называли египетские пирамиды, происходит от древнеегипетского слова «пурами» (так пирамиды называли египтяне). Египетские пирамиды – первое из 7 чудес света. Египетская гробница Хеопса – величайшая из пирамид. Она была построена примерно 6000 лет назад фараоном Хеопсом. Подсчитано, что пирамида состоит из 23000000 обтесанных известковых камней весом 2,5 тонны каждый. Общий вес пирамиды 5750000 тонн. Высота пирамиды примерно 150 метров. Что бы обойти пирамиду кругом нужно прошагать целый километр. Предполагают, что пирамиду строили в течение 20 лет 100 тысяч рабов, сменявшихся каждые три месяца. Подсчитано, что из камней гробницы Хеопса можно было построить современный город с населением в 120 тысяч человек.

С достаточной точностью можно считать, что гробница фараона – это правильная четырехугольная пирамида. Давайте подсчитаем площадь полной поверхности такой пирамиды.

Такая огромная! Но не самая большая. Удивительно, но самая большая пирамида находится не в Египте, а в Мексике. Она построена около 100 г.н.э. Ее высота всего 53,9м, зато она занимает площадь 18,2 га (≈ в 3 раза больше Хеопса).

в) Слово химикам.

В природе встречаются не только такие огромные пирамиды, но и очень маленькие. Как видно из рисунка, элементарная ячейка кристалла алмаза имеет тетраэдрическое строение, причем каждый атом углерода связан с четырьмя другими атомами, расположенными от него по вершинам тетраэдра. Углы между направлениями связи имеют строго определенную величину 109^о28’. Все атомы углерода в кристалле алмаза расположены друг от друга на одинаковом расстоянии, равном 0,154нм. Связи атомов поэтому очень прочные, отсюда большая прочность алмаза. Когда элементарные ячейки алмаза соединяются, снова образуют форму тетраэдра (т.е. треугольную пирамиду)

Самый большой алмаз был найден в Якутии в 1981г. Он весил 170 карат (1 карат=0,2г.) т.е. 34г. После огранки алмаз превращается в бриллиант. Хороший бриллиант – многогранник с 56 гранями. Из них 32 на верхней части камня и 24 на нижней.

Благодаря большому числу граней достигается многократное преломление света, бриллиант от этого сверкает, искрится.

г) Слово физикам

Приведем еще один пример использования пирамид. Всем известно, что для построения зеркального отражения физики соблюдают закон: угол падения равен углу отражения. Треугольное зеркало, имеющее форму треугольной пирамиды, отбрасывает отраженный луч точно в направлении падающего луча.

Мачты яхт оснащают уголковыми зеркальными отражателями. Маленькое трехгранное зеркало отражает импульс радара гораздо сильнее, чем корпус судна.

д) Слово будущим инженерам

В пакетах – тетраэдрах мы покупаем молоко, майонез и другие продукты. Почему же их запаковывают именно в тетраэдры, а не в кубы или другие многогранные формы?

Оказывается:

1) Такое тело легче всего получить из плоского места путем простого складывания.

2) Это тело имеет меньшую соединительную полосу при склеивании, чем, например, куб.

3) При выкройке такого тела получается минимум обрезков.

Тетраэдры плотно заполняют пространство (без зазоров). Экономим при перевозке объем.

У тетраэдра меньшее число граней (удобнее искать маркировку продукта). Вероятность нахождения нужной грани 1/4 у тетраэдра, а у куба 1/6.

УСЕЧЕННЫЕ ПИРАМИДЫ
III. В. Слово будущим архитекторам.

Промежуточное положение между пирамидами и призмами занимают усеченные пирамиды, получающиеся из пирамид отсечением меньших пирамид плоскостями, параллельными основаниям. (Демонстрируем модели)

Многие архитектурные сооружения или их детали представляют собой пирамиды, усеченные пирамиды или призмы. Перед вами макеты храмов. Здесь можно распознать знакомые многогранники. А это небольшая подборка фотографий старинного Курска – своего рода многогранная галерея. Так же демонстрируем рисунок часовни в северо-западном микрорайоне, где строится церковь Веры, Надежды, Любови и матери их Софии. Здесь правильная четырехугольная призма – стены, правильная четырехугольная пирамида – их связующее звено.

III. Г. Правильные многогранники

а) А теперь мы приглашаем вас в удивительный мир правильных многогранников. Их форма – образец совершенства.

Какой же многогранник можно назвать правильным?

б) Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, примерно 2400 лет назад, когда философ Платон проводил беседы по философии со своими учениками в роще Академа. Одним из девизов своей школы Платон провозгласил: «Незнающие геометрии не допускаются!» Именно Платон открыл, что существует всего 5 видов правильных многогранников (смотри таблицу)

Евклид стал последователем Платона в деле изучения правильных многогранников. Им посвящена 13 книга знаменитых начал Евклида, а гораздо позднее (в 18 веке) один из величайших математиков Леонард Эйлер открыл очень интересную закономерность, которая справедлива не только для правильных многогранников, а для всех выпуклых многогранников. Это теорема Эйлера: В+Г- Р=2.

Эйлер родился в Швейцарии, но почти всю жизнь прожил в России, поэтому мы с гордостью можем считать его своим соотечественником.

У правильных многогранников есть одна особенность: оказывается, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами нового правильного тетраэдра. Центры граней куба являются вершинами октаэдра, центры граней октаэдра – вершинами куба.

То же происходит с парой додекаэдр-икосаэдр.

Кстати, форму правильного додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS).

в) Мы предлагаем вам решить шуточную задачу.

Пчела села на вершину модели правильного додекаэдра и решила обойти его, двигаясь по ребрам додекаэдра, при этом ей удалось посетить все вершины, не побывав ни в одной из них дважды и вернувшись в конце путешествия в исходную вершину. Определите траекторию движения пчелы. Какое расстояние она при этом преодолевала?

(ребро – 5 см)

Для удобства нахождения траектории мы деформируем сеть линий додекаэдра так, что бы уместить её на плоскости.

Грани додекаэдра конечно деформировались, но остались пятиугольниками.

г). Слово любителям астрономии.

Иоганн Кеплер (1571-1630) в своей работе «Тайна мироздания» в 1597 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет солнечной системы по Кеплеру, заключалась в следующем: Земля (имеется ввиду орбита Земли) есть мера всех орбит. Вокруг неё опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера Сатурна.

В сферу Земли вложим гексаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка».

д). Слово любителям изобразительного искусства.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники. Леонардо да Винчи. Например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Например, он проиллюстрировал изображениями правильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции». Другим знаменитым художником эпохи Возрождения, увлекавшимся геометрией, был Альбрехт Дюрер. В его известной Гравюре « Меланхолия» на переднем плане изображен додекаэдр. В 1525 году Дюрер написал тракт, в котором представил пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы.

III. Д Звезды

Я думаю, наша математическая композиция была бы незавершенной, если бы мы не вспомнили об очень красивых многогранных поверхностях, которые просто притягивают взгляд- это так называемые звёзды.

На первый взгляд это очень сложные многогранные конструкции, но если внимательно присмотреться, то можно заметить, что, например, первая из звезд составлена из правильных тетраэдров. Один из них большой, на каждой грани которого разместились четыре тетраэдра поменьше. Их ребро в два раза меньше ребра большого тетраэдра. А вторая звезда представляет собой правильный додекаэдр на каждой грани которого расположилось по правильной пятиугольной пирамиде, основания которых равны грани додекаэдра.

IV. Задание на дом.

Подведение итогов урока.

Ну что ж, ребята, на мой взгляд, вы просто молодцы! У вас получилась замечательная, довольно красиво выстроенная математическая композиция. Многие из вас потрудились на славу и заслуживают самой высокой оценки. Кто то в следующий раз будет активнее. Я надеюсь после этого урока уже ни у кого не возникнет вопросов зачем нужно было изучать тему «Многогранники». Ведь так? НУ а раз та, раз тема эта нам так важна в жизни, я вам предлагаю дома еще раз проверить свои знания по теме. А помогут вам в этом индивидуальные карточки – задания. Они лежат перед вами на столе. Вам предоставляется право проявить самостоятельность, показать свою индивидуальность и исходные данные задачи вписать самим, те которые вы захотите. Но помните: «Выбирать нужно те задачи, где получить ты можешь сдачи.» Постарайтесь правильно рассчитать свои силы.

V. Заключение или « Многогранная феерия».

Наш урок подходит к концу лишь один сюрприз от наших будущих модельеров и стилистов.(под музыку идет демонстрация моделей одежды)

Мы предлагаем вашему вниманию коллекцию весна-лето 2003 года которая будет особенно актуальна в период изучения в школах города темы «Многогранники».

Как известно, в идеалистической картине мира по Платону правильные многогранники олицетворяли четыре стихии.

Тетраэдр-огонь

Куб-землю

Икосаэдр-воду

Октаэдр-воздух

Пятый же многогранник – додекаэдр, символизировал всё мироздание.

Исходя из этого всем родившимся под знаком огня т.е. овнам, львам, стрельцам мы предлагаем костюм в стиле «тетраэдр» в красных тонах. Озорной стиль подчеркивают аксессуары в форме тетраэдров, а также замысловатый рюкзачок.

Знакам Земли - тельцам, дева, козерогам советуем примерить строгий деловой костюм в черной цветовой гамме. Костюм удачно дополняет сумка-куб, с которой можно пойти куда угодно: в школу, в гости и даже на дискотеку. Деловой силуэт подчеркивает галстук.

А этот вариант коллекции мы предлагаем знакам воды: ракам, скорпионам, рыбам. В оттенках голубого представлен ансамбль в стиле «гексаэдр». Широкополая шляпа в сочетании с голубым цветом костюма придает особую чистоту силуэта, похожую на водную гладь.

Знакам воздуха: близнецам, весам, водолеям в следующем многогранном сезоне лучше всего подойдет ансамбль в белом цвете, дополненный многочисленными октаэдрами, которые, несомненно, принесут им удачу.