Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения и положено в основу способа концентрических сфер, который применяют при следующих условиях:

Пример. Определить линию пересечения двух конических поверхностей с пересекающимися осями (рис 5.16).

Рис.5.16
70

Построение начинаем с определения характерных точек А, В, С D, которые лежат во фронтальной плоскости, проходящей через плоскость симметрии поверхностей. Их фронтальные проекции А",В ,С ,D определяются пересечением главных меридианов. Далее определяем сферы R min и R max. Сфера R min определяется двумя способами:

1.Если образующие пересекающихся поверхностей прямые линии, то из центра 0 проводим перпендикуляры к образующим заданных поверхностей. Наибольший из этих перпендикуляров будет являться R min.

2. Если образующая хотя бы одной поверхности кривая линия, то R min находится подбором, т.е. сфера R min должна быть, вписана в одну поверхность и описана вокруг другой.

Сфера R max - это расстояние от центра 0' до наиболее удаленной от него точки линии пересечения. В нашем случае это 0"В.

Величина радиуса вспомогательных сфер для определения линии пересечения находим в пределах от R min = (О'М) до R max = (О В). Точка М определяется как точка касания окружности, проведенной к главному меридиану m₂ из центра О. Для определения линии L₂-Rmax=О"С", R min =ОМ. Для определения точек N₁ и N₂, принадлежащих линии 1₂ находим окружность (на фронтальной плоскости - прямая), по которой пересекаются конус  и сфера R min, и находим окружность (на фронтальной плоскости - прямая), по которой пересекаются конус  и сфера R min . на пресечении этих линий находим точки N₁и N_2.

Построив несколько сфер с центром в точке О, в промежутке,

между R min и R max находим точки, принадлежащие линии пересечения

Недостаток метода сфер

1) При построении должна соблюдаться графическая точность.

2) Линия пересечения строится на одной плоскости проекций.

В некоторых случаях расположение, форма или соотношения размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пресечения никаких сложных построений не требуется. К ним относятся пересечение цилиндров с параллельными образующими, конусов с общей вершиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы.

В этом случае линиями пересечения поверхностей второго порядка являются две плоские кривые второго порядка, изображаемые на плоскости, параллельной осям поверхностей, в виде прямолинейных отрезков.

Примеры изображения линии пересечения поверхностей вращения,

описанных вокруг одной сферы рассмотрены на (рис 5.17).

В случаях (ряс 5.17 а,б ) поверхности двух цилиндров, конуса и цилиндра пересекаются по двум эллипсам с проекциями 12 и 34.

В случае (; рис.5.17,в) пересечения конусов с вершинами S₁ и S₂, у которых имеются две параллельные образующие, линии пересечения - из эллипс с проекцией 12 и парабола с вершиной в точке с проекцией 3.

Рассмотренные примеры пересечения двух поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы, являются частными случаями,
72

следующими теоремы Монжа: две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым второго порядка, плоскости которых проходят чрез прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Пример, Построить линию пересечения конуса и цилиндра, описанных вокруг общей сферы ( рис 5.18 ).В соответствии с теоремой Г. Монжа линии пересечения конуса и цилиндра будут плоскими кривыми - эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми АВ и CD.

Для решения этой задачи необходимо:

1) найти линию касания цилиндра и сферы (окружность, которая на плоскость V проецируется в прямую линию).

2) найти линию касания конуса и сферы (окружность, которая на плоскость V проецируется в прямую линию).

3) находим точку пересечения построенных линий.

4) проводим прямые, проходящие через точки пересечения

очерковых образующих и точку пересечения линий касания

заданных поверхностей с поверхностью сферы.

Вторую проекцию линии пересечения строим исходя из условия

принадлежности точек этой линии поверхности цилиндра или поверхности конуса.

Рис.5.18.

73
6.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЯМИ
6.1.Общие сведения о пересечении поверхности плоскостью.

При пересечении любого тела е плоскостью получается некоторого вида плоская фигура, называемая сечением. Под сечением понимают ту часть секущей плоскости, которая находится внутри рассеченного тела и ограничена линией сечения. Линией сечения тела плоскостью является контур этого сечения,

Плоскости, с помощью которых получается сечение, называют секущими.

Фигура сечения многогранника — многоугольник, число сторон которого равно числу граней, пересекаемых плоскостью. Вершинами этого многоугольника являются точки пересечения ребер с секущей плоскостью, а сторонами — линии пересечения граней с секущей плоскостью. Плоские сечения многогранников — замкнутые фигуры.

В пересечении кривой поверхности плоскостью в общем случае получается плоская кривая линия (окружность, эллипс и т. п.). При пересечении линейчатых поверхностей плоскостями могут получаться, в частности, и прямые линии, если секущая плоскость направлена вдоль образующих (цилиндра, конуса и др.).

Основным способом построения точек линии пересечения поверхности с плоскостью является способ вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательная плоскость пересекает секущую плоскость по прямой, а заданную поверхность по некоторой кривой или прямой линии. Точки пересечения этих линий и будут искомыми точками, принадлежащими поверхности и секущей плоскости.

Построение проекций линии сечения поверхности плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость проецирующая. В этом случае одна из проекций линии сечения уже имеется на чертеже: она совпадает с проекцией плоскости. Остается лишь найти другие проекции этой линии.

6.2.Пересечение пирамиды с плоскостью

Плоскость пересекает пирамиду по многоугольнику. Если плоскость параллельна основанию пирамиды, в сечении получается фигура, подобная основанию. При построении линии пересечения

пирамиды с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер с данной плоскостью или строят линии пересечения граней пирамиды с этой плоскостью.

На рис.6.1 показано построение проекции линии сечения пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью  Фронтальная проекция линии сечения совпадает с фронтальной проекцией _v секущей плоскости. Горизонтальная и профильная проекции сечения находятся с помощью линий связи проведённых из точек 1 ... б до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих рёбер пирамиды.

Рис 6.1

Натуральная величина сечения определена способом замены плоскостей проекции. Так как сечение имеет фронтальную ось симметрии, при построении его натурального вида эта ось проведена параллельно _v.

Для построения точек 1о...6о данного сечения использованы их размеры у.

6.3. Пересечение призмы с плоскостью

При построении линии пересечения призмы с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер с данной плоскостью. Эту линию можно также построить, определяя линии пересечения отдельных граней призмы с плоскостью. В результате пересечения поверхности призмы плоскостью может быть получен прямоугольник (рис.6.2а ), если эта плоскость параллельна боковым рёбрам призмы, или различного вида многугольники (рис.6.2 б,в.), если плоскость не па параллельна им

Н
а рис 6.3 показано построение проекций линии сечения

треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью 

В сечении получен четырёхугольник ABCD, фронтальная проекция которого совпадает с фронтальной проекцией _v секущей плоскости. Точки А,В являются точками пересечения боковых рёбер призмы с плоскостью , а отрезок CD - линия пересечения верхнего основания призмы с этой плоскостью.

Натуральный вид сечения Ао Во Со Do построен способом замены плоскостей проекций, для этого введена новая плоскость проекций,

параллельная плоскости о, и на эту плоскость спроецированы точкиA,B,C,D. Из проекций А, В", С D проведены линии связи, перпендикулярные к следу _v, и на свободном поле чертежа проведена линия Ао Do, параллельная _v. Эта линия принята за базу отсчёта размеров у на фигуре сечения потому, что прямая AD принадлежит фронтальной плоскости задней грани призмы, которую принимают за базовую. Точки Во и Со построены с помощью размеров у_в и у_с.

При пересечении цилиндра плоскостью фигура сечения будет зависеть от угла наклона плоскости по отношению к оси вращения.

77

Если секущая плоскость параллельна оси вращения (рис 6.4 а ), в сечении цилиндра получится прямоугольник. Если плоскость перпендикулярна оси вращения (рис 6.4 , б), в сечении получится окружность.

На рис 6.5 показано построение проекций линии сечения цилиндра фронтально - проецирующей плоскостью  (_v).

Линией пересечения является эллипс. Большая ось эллипса - АВ = А' 'В'^/, малая ось CD = СD - диаметр цилиндра.

Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости Н. Следовательно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с плоскостью а(а ) проецируется на плоскость Н в окружность, на ней отмечают горизонтальные проекции точек А, 1, С, 2, В', D', 2', 1' эллипса, расположив их равномерно по окружности. В проекционной связи строят фронтальные проекции А, \", С, В, 2^//, В на фронтальном следе _v секущей плоскости.

Профильные проекции точек строят по их горизонтальной и фронтальной проекциям на линиях связи. Профильная проекция линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс, большая ось CD которого в данном случае равна диаметру цилиндра , а малая ось АВ - профильная проекция отрезка АВ. Натуральный вид сечения построен способом замены плоскостей проекций на плоскости Т, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса - отрезок АоВо  A₂B₂, малая - отрезок CoDo  d. Эллипс может быть построен по его большой и малой осям.

78

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии, называемые вершину конуса, в его сечении получается пара прямых - образующие конуса ( рис 6.6, а). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается окружность (рис 6.6, б).

Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться парабола (рис.6.6. в), гипербола (рис.6.6, г) или эллипс (рис.6.6.д,е).

Если углы  (угол наклона образующей конуса к его оси) и  (угол наклона секущей плоскости к оси конуса) равны, т.е. секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, в сечении получается парабола (рис^.6.6, в). В этом случае секущая плоскость a(av) пересекает все образующие, кроме одной, которой она параллельна.

Если секущая плоскость а (a v), направленная под углом к оси вращения конуса, пересечет его так, что угол  будет меньше угла , то в сечении получится гипербола (рис.6.6.г). В этом случае секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.

Эллипс получается в том случае, когда угол  между секущей плоскостью  (_) и осью вращения больше, чем угол  между осью вращения и образующей конуса (рис.6.6. д, е), т.е. когда плоскость пересекает все образующие конуса.

На рис.6.7 дано построение проекций линии сечения конуса фронтально - проецирующей плоскостью , когда в сечении получается эллипс. На фронтальной плоскости проекций V фигура сечения - эллипс - изобразится в виде прямой АВ, совпадающей с фронтальной проекцией _ секущей плоскости. Эта прямая будет большой осью эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна большой и проходит через ее середину. Отрезок АВделят пополам и получают фронтальную проекцию малой оси в виде точки CD". Для нахождения горизонтальной проекции малой оси через нее проводят параллель, которая проецируется на горизонтальную

плоскость проекции окружностью радиуса ОТ. Точки 1 и 1^ сечения принадлежат профильным очерковым образующим конуса. Они отделяют видимую в профильной проекции часть l-C-A "'-D"'-1^'^//

сечения от невидимой 1-В -1^///.

Натуральная величина сечения AoBoCoDo построена способом замены плоскостей проекций на плоскости Т, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса - отрезок АоВо  А₂В₂, малая - отрезок CoDo  d. Наряду с построением эллипса по точкам возможно построение его по большой и малой осям.
80

Рис 6.6

Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, окружность сечения проецируется на эту плоскость проекций без искажения. Если секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций, проекциями окружности являются эллипсы.

На рис 6.8 изображена сфера, пересеченная фронтально - проецирующей плоскостью ( ), которая пересекает сферу по окружности диаметра АВ = А В с центром в точке O₁ (проекция O₁ точка пересечения v с перпендикуляром, опущенным из проекции О" центра сферы на плоскости }. Горизонтальная и профильная

82

проекции этой окружности представляют собой эллипсы, длины больших осей которых СD и C D'" равны величине диаметра окружности (А В''), малые оси эллипсов АВ' и А В'" получают проецированием.

Горизонтальные проекции 2 и 2^построены в проекционной связи на

горизонтальной проекции экватора. Проекции З'" и 3^

строят по фронтальной проекции. Горизонтальные проекции (Cи D построены с

83

помощью параллели KF радиуса ОК Горизонтальные проекции промежуточных точек 1 и 4 также построены с помощью параллелей. Профильные проекции точек построены по горизонтальным и фронтальным проекциям соответствующих точек. На горизонтальной проекции часть эллипса невидима. Точки 2 и 2^ , отделяющие видимую часть эллипса от невидимой, находятся на экваторе. На профильной проекции видимость эллипса определяется с помощью проекций 3" и З^ ", которые находятся на фронтальной проекции профильного очерка.

В
Кривые Персея

а б в г Рис.6.9

Все другие плоскости пересекают поверхность по кривым, они имеют общее название - кривые Персея (Персей - геометр Древней Греции). Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.

На рис 6.9 изображены кривые Персея, полученные в пересечении тора плоскостями А- А ( рис 6.9 , а). Б- Б ( рис 6.9 б). В- В ( рис 6.9, в), Г- Г (рис 6-9 , г).

Кривую линию пересечения тора плоскостью в общем случае строят с помощью вспомогательных плоскостей, пресекающих тор и секущую плоскость. При этом подбирают плоскости, пересекающие тор по окружности, т.е. расположены перпендикулярно оси тора или проходящей через его ось.

На рис.6.10.показано применение вспомогательных плоскостей y₁ (y₁) и y₂ (y₂), перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью а (а"').

Рис 6.10

Top имеет два изображения — фронтальную проекцию и половину профильной проекции. Полуокружность радиуса R₂ (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью у₂ касается проекции плоскости а (следа а"''). Тем самым определяются профильная проекция 3 (О 3  а' ) и по ней фронтальная проекция 2" одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R₁ - профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью у₁. Она пересекает профильную проекцию плоскости а (след а'") в двух точках 5 и 7 — профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния /₁ и /₂ на фронтальной проекции для нанесения точек 5о, 7о и Зо. Точки 6о, 8о и 4о построены как симметричные.