8. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ. РАЗВЕРТКИ ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Для изготовления деталей, получаемых путем свертывания и изгиба листового или полосового материала, необходимо иметь заготовки - развертки будущих деталей.

Разверткой (выкройкой) поверхности тела называется плоская фигура, полученная путем совмещения всех точек данной поверхности с плоскостью без разрывов и складок.

Развертками поверхностей пользуются на практике для изготовления моделей разных сооружений, форм для металлических отливок, фасонных деталей и устройств в кровельном и котельном деле и т.п.

Эти развертки обычно делают по специальным чертежам. Для построения разверток поверхностей в основном используют следующие графические способы;

а) способ нормальных сечений;

б) способ раскатки;

в) способ триангуляции,(способ треугольников) Рассмотрим построения разверток данными способами на примерах:

8.1,Способ нормальных сечений

1 .Поверхность пересекают плоскостью, перпендикулярной к ее образующим (ребрам), рис 8.1 . Рассечем заданную призматическую поверхность фронтально - проецирующей плоскостью Ф, перпендикулярной к ребрам поверхности.

По теореме о проецировании прямого угла (если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения) фронтальные проекции ребер и секущей плоскости будут взаимно перпендикулярны, так как ребра являются в данном примере фронталями. В сечении получим треугольник 1-2-3 (1 2;3;1; 2; 3). Натуральную (действительную) величину сторон треугольника можем определить любым из ранее изученных методов. В данном случае проще использовать метод замены плоскостей проекций:

104

V/H -W/H₁; H₁ II Ф (X₁ II Ф ) => l₁2₁З₁ - натуральная величина нормального сечения.

2. На продолжении проекции Ф плоскости Ф ( на прямой k ) построим развертку 3 ; 2 ; 3 линии нормального сечения. Через полученные точки проведем перпендикуляры к прямой k. На этих перпендикулярах будут находиться проекции ребер поверхности на плоскости развертки.

3. Мысленно разрежем данную поверхность по ребру CF, и будем последовательно совмещать с плоскостью развертки боковые грани призмы. При этом концы А, В, С, D, Е, F ребер будут совмещаться в плоскостях, параллельных секущей плоскости Ф. Эти плоскости будут проецироваться на V в прямые, параллельные проекции Ф .

4. В пересечении соответствующих проекций ребер и этих плоскостей получим точки Во, Ао, Со. Соединив эти точки ломаной линией, получим развертку боковой поверхности. В общем случае развертка поверхности данной призмы может быть, выполнена на любом месте листа чертежа. Для этого прямуюk проводим в любом месте (^рис8.2)) и на ней строим развертку Зо2о1о3о нормального сечения поверхности призмы.

Через полученные точки проводим перпендикуляры к прямой k и откладываем на них размеры соответствующих ребер, зная, что на плоскость проекции V они проецируются без искажения: loA₀=l A'';

105

2oBo=2^// В";, , .Соединив точки Со, Во, ... Fo ломаной линией, получим развертку боковой поверхности призмы. Чтобы получить полную развертку призмы необходимо к развертке боковой поверхности пристроить основания призмы

8.2.Способ раскатки

Рис.8.3 В этом случае используется частное положение ребер призмы (боковые ребра - фронтали, а ребра оснований - горизонтали) и теорема о проецировании прямого угла (приведена в п. 8.1).

Рис. 8.2

Рис 8.3

106

При развертывании способом раскатки концы А, В, С, ребер поверхности будут перемешаться в плоскостях, перпендикулярных этим ребрам (ребра будут осями вращения этих точек), в данном примере - во фронтально — проецирующих плоскостях. Фронтальные проекции фа, Фв, Фс этих плоскостей будут перпендикулярны к фронтальным проекциям ребер и пройдут через фронтальные проекции А", В , соответствующих точек.

Разрежем (мысленно) поверхность по ребру CF и будем поочередно совмещать (раскатывать) грани с плоскостью развертки. При совмещении грани CFEB положение точек С и F не изменится. Положение Во точки В на развертке определяется тем, что она отстоит от точки С на расстоянии ВоС =ВС, равном длине отрезка ВС (ВС в данном случае - горизонталь), и принадлежит проекции Фв плоскости фб (в которой она вращается). Используя циркуль, находим точку Во на развертке. Аналогично находим остальные точки - Ао, Со,... Соединив найденные точки соответствующими прямыми, получаем развертку боковой поверхности призмы заданной поверхности. Для получения полной развертки призмы достаточно к развертке боковой поверхности пристроить основания призмы треугольник АоВоСо и треугольник DoEoFo/

Развертки деталей, ограниченных плоскостями или развертывающимися кривыми поверхностями, могут быть развернуты и совмещены с плоскостью точно, В этом случае на развертке сохраняются точки и длины линий, лежащих на поверхности, причем каждой точке и отрезку прямой на развертке соответствует вполне определенная и единственная точка (или отрезок прямой) на поверхности и наоборот.

Развертки деталей, ограниченных не развертывающимися поверхностями, строят приближенно (например, поверхность сферы).

8.3.Способ триангуляции (способ треугольников)

Способ треугольников (способ триангуляции) используется для построения развертки боковой поверхности пирамиды, а так же для построения боковой поверхности линейчатых поверхностей. Пример. Построить развертку боковой поверхности пирамиды SABC(рис 8.4,).

Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников - граней пирамиды. Поэтому построение развертки поверхности пирамиды сводится к

107

определению действительной величины ребер пирамиды и построению по трем сторонам треугольников - граней пирамиды.

На рис 8.4 определение действительной длины ребер пирамиды выполнено с помощью вращения их вокруг оси i (iS и iH). Путем вращения ребра пирамиды совмещаются с плоскостью (плоскость  V и i). Определив действительные величины ребер [S А₂], [S B₂], [S C₂], приступаем к построению развертки. Из произвольной точки So проводим произвольную прямую а, откладываем на ней от точки So[SoA₀][S А₂]. Из точки Ао проводим дугу радиусом

г₁=[AB] , а из точки So- дугу радиусом Ri=[S B₂]. В пересечении дуг полусаем вершину Во треугольника S.₀AoBo (треугольник SoAoBoS треугольника SAB - грани пирамиды). Аналогично находятся точки So и Ао. Соединив точки AoB.oC₀AoSo, получим развертку боковой поверхности пирамиды SABC.

При развертке линейчатых ( поверхности, образованные движением прямой линии, называют линейчатыми), развертывающихся поверхностей последние рассматривают как состоящие из очень большого числа бесконечно малых плоских элементов, иначе говоря, заменяют эту поверхность многогранной
108

поверхностью (аппроксимируют). Развертку поверхности строят как суммы разверток треугольных граней вписанной многогранной поверхности.

Заменяя плавную кривую ломаной, следует разбить эту кривую на такие дуги, длины которых возможно мало отличаются от сторон ломаной, В этом случае стороны многоугольников будут очень мало отличаться от другой развернутой кривой. Этот способ построения разверток называется способом триангуляции - развертываемая поверхность аппроксимируется многогранной поверхностью с треугольными гранями.

Пример. Построить развертку полной поверхности (боковой поверхности, поверхности основания и сечения) усеченного конуса вращения, рис 8.5

1. Делим основание конуса на 12 равных частей.

2. Соединяем эти 12 точек с вершиной (12 образующих). Строим их фронтальные проекции. Затем строим горизонтальную проекцию сечения. Построение видно из чертежа.

3. Боковая поверхность конуса вращения развертывается в сектор круга с углом

=360°*D/2L,

где D - диаметр окружности основания конуса, а L - величина образующей конуса.

4. Затем откладываем на дуге 12 отрезков, равных 1/12 длины

окружности - основание конуса. Разрежем (мысленно) конус по образующей наибольшего размера.

На развертке необходимо откладывать истинные размеры образующих конуса, поэтому следует их определить. На фронтальной проекции только крайние образующие, проходящие через точки 1 и 7, проецируются без искажений.

Чтобы не загромождать чертеж, рядом, с фронтальной проекцией конуса чертим образующую S₁ 7i, равную образующей S"7 и параллельную ей.

На этой образующей отмечаем параллельно основанию конуса точки пересечения образующих конуса с наклонной секущей плоскостью (кроме точек 1 и 7),

Далее на образующих развертки от точек 1,2,3,..., 12 откладываем размеры образующих конуса h_1,h₂,h₃ ,h₁₂.

109

Натуральную величину сечения строим прежде изученными методами. В данном примере использован метод замены плоскостей проекций.

К развертке боковой поверхности усеченного конуса пристраиваем круг - основание конуса и эллипс - основание конуса наклонной плоскостью.

Таким образом, получили полную развертку усеченного конуса методом триангуляции.

Рис 8.5

110

9. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

9.1. Общие сведения

Во многих случаях при выполнении технических чертежей оказывается необходимым наряду с комплексным чертежом оригинала давать более наглядное изображение, обладающее свойством обратимости.

С этой целью применяют чертеж, состоящий только из одной параллельной проекции данного оригинала, дополненный проекцией пространственной системы координат, к которой предварительно отнесен изображаемый оригинал. Такой чертеж называется аксонометрическим или аксонометрией. Слово аксонометрия означает «измерение по осям».

Рассмотрим построение аксонометрической проекции. Выберем какую - нибудь плоскость проекций Р и спроецируем на нее по направлению S заданную точку А вместе с осями прямоугольных (натуральных) координат, к которым она отнесена в пространстве (рис 9.1 ). Плоскость Р называют тоскостъю аксонометрических проекций (эту плоскость называют также картинной плоскостью).

Проекция А' называется аксонометрической проекцией точки А, а точка А₁ - вторичной проекцией точки А, В дальнейшем аксонометрическую проекцию A^/ условимся обозначать так же, как ' в пространстве, буквой А.

111

Проекция OAxA1A называется аксонометрической координатной ломаной..

Отрезки О Ax, Ax А_1 и А ₁А , соответственно параллельные осям х, у и z - аксонометрическими отрезками координат.

Проекция O'x'y'z называется аксонометрической системой координат. Она состоит из аксонометрических осей х, у, z, пересекающихся в точке О', называемой аксонометрическим началом координат.

Проекции х, у, z осей х, у и z называются аксонометрическими осями координат.

Проекции е'я e'y, ё'г натурального масштаба е называются аксонометри ческими масштабами.

9.2. Показатели искажения

Отношения аксонометрических координат к натуральным (при одной и той же натуральной единице е) называются показателями искажения по ослы.

Обозначим через и показатель искажения по оси х, через v - показатель искажения по оси .у, через w - показатель искажения по оси г, тогда

; ;

Если все три показателя искажения по осям равны между собой:

и = v = w, то аксонометрическая проекция называется изометрией.

Если два показателя искажения равны между собой и отличаются от третьего показателя, то аксонометрическая проекция называется диметрией. При этом и = v  w, или v = w и, или w = и  v.

Если все три показателя искажения по осям различны; uv; vw, wu, то аксонометрическая проекция называется триметрией.

В зависимости от наклона изображаемого предмета к плоскости аксонометрических проекций и угла, образуемого проецирующими лучами с аксонометрической плоскостью, получают аксонометрические проекции различного типа. Если проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости аксонометрических проекций, проекции называют прямоугольными; если проецирующие лучи не перпендикулярны к плоскости аксонометрических проекций, проекции называют косоугольными.

Все виды аксонометрических проекций обладают следующими свойствами:

112

113

- любому чертежу в аксонометрических проекциях должен предшествовать чертеж выполненный в ортогональных проекциях;

- ось г проецируется всегда вертикально;

- все измерения делаются только по осям или параллельно

осям;

- все прямые линии, параллельные между собой или

параллельные осям симметрии на ортогональном чертеже, остаются параллельными в аксонометрии.

9.3. Стандартные аксонометрические проекции

Для единого правила выполнения аксонометрических изображений разработан ГОСТ 2,317-69.

К числу стандартных прямоугольных аксонометрических проекций относятся изометрическая проекция (\ рис 9;2а ,);

диметрическая проекция ( рис 9.26 ).

К числу стандартных косоугольных аксонометрических проекций относятся фронтальная изометрическая проекция ( рис 9.2в );

горизонтальная изометрическая проекция ( рис 9.2г ); фронтальная диметрическая проекция ( рис 9.2 , д).

9.3.1. Прямоугольная изометрическая проекция

Она образуется, когда оси координат одинаково наклонены к картинной плоскости Р (рис 9.1). Следовательно, аксонометричес- кие оси в прямоугольной изометрии образуют между собой углы по 120° (рис.9.3).

З
Рис. 9.3
ная основную формулу прямоугольной аксонометрии и² + v² + w² = 2 и равенство коэффициентов искажения изометрической проекции и = v = w, можно определить коэффициенты искажения:

3u²=2; u=0,82; u=v=w=0,82

Следовательно, при построении прямоугольной изометрической проекции натуральные размеры вдоль координатных осей сокращаются в  0,82 раза.
114

На практике коэффициенты искажения принимают равными единице. В этом случае изображение предмета получается

увеличенным, при этом коэффициент приведения =1,22

Действительные коэффициенты искажения называют точными, а увеличенные - приведенными и обозначают их, в отличие от точных, прописными буквами: U = V = W = 1. На рис 9.4 показано построение изометрических осей без измерения углов транспортиром. Первый способ (рис 9.4.а) основан на делении окружности на шесть равных частей. Выбрав на оси z точку О, проводим дугу произвольного радиуса; она пересечет ось z' в точке А, Из этой точки тем же радиусом проводим вторую дугу. Точки В пересечения дут используем для проведения осей x и у.

На Рис(9,4,б) показан второй способ построения изометрических осей. Наклон оси в 30° получается при соотношении длин отрезков 3:5 (например, 3 и 5 клеток).

а) Рис.9.4. б)

9.3.2. Прямоугольная диметрическая проекция

Наиболее простую и распространенную диметрию получают,

если и = w и v = Вычислим показатели искажения. Из

115

соотношения u² + v² + w² = 2 имеем u² + + u² = 2, откуда и = 0,94, тогда w = 0,94; v =0,47.

В практике применяют приведенные коэффициенты искажения U == W = 1 и V = 0,5, При этом коэффициент приведения 1,06 Таким образом, изображение предмета получается увеличенным в 1,06 раза.

Расположение аксонометрических осей в диметрической проекции показано на рис 9.5, Оси х'у встроят по тангенсам углов. Так tg 7⁰10=; tg41⁰25=

Продолжение оси у' за центр О является биссектрисой угла XOZ, что также может быть использовано для построения оси у'

9.3.3. Косоугольные аксонометрические проекции

ГОСТ 2.317 - 69 рекомендует использовать косоугольную диметрию. В практике черчения наиболее часто используется такая косоугольная диметрия, у которой коэффициент искажения по оси у' принимается равным 0,5, а угол, составленный этой осью с другими осями - 135° (рис 9.2 д). Согласно ГОСТ 2,317 - 69, такую аксонометрическую проекцию называют фронтальной биометрической проекцией (в литературе ее иногда называют кабинетной).

Косоугольная фронтальная диметрическая проекция предпочтительна в тех случаях, когда окружности лежат в плоскостях, параллельных плоскости V,

Г
а рис.9.6 б

ОСТ 2.317 - 69 также рекомендует использовать и другую косоугольную проекцию - фронтальную изометрическую проекцию. В литературе ее иногда называют кавальерной перспективой (рис 9.2в,). Фронтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям х уz

116

В практике черчения ГОСТ 2,317 - 69 разрешает использовать и еще одну косоугольную проекцию - горизонтальную изометрическую проекцию (в литературе иногда такую проекцию называют зенитной изометриеи). Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям х', у', z' (рис 9.2 , г).

9.4. Аксонометрические проекции окружности

Окружность в аксонометрической проекции представляет собой эллипс, Построение эллипса сравнительно сложно, поэтому его заменяют овалом. Овал - это кривая, по очертанию похожая на эллипс, но строится при помощи циркуля.

9.4.1. Окружность в прямоугольной изометрии

Окружности, вписанные в грани куба ( рис 9.6а ), проецируются в эллипсы, В прямоугольной изометрии все три эллипса одинаковы по форме, равны друг другу, но расположены различно (рис 9.6.б) . Их малые оси всегда располагаются по направлению отсутствующей в данной плоскости аксонометрической оси, а большая ось к ней перпендикулярна.

Большая ось=1,22D

117

Существует несколько способов построения окружности в

изометрической проекции.

Первый способ. Строят ромб со стороной, равной D окружности. Точки А и В - центры больших дуг радиуса R, Точки С и Е - центры малых дуг радиуса г. Точки 1, 2, 3. 4 - точки сопряжения дуг (рис 9.7а ).

Второй способ. Проводят две окружности, одна - диаметром, равным большой оси овала (АВ = 1,22 D), вторая - диаметром, равным малой оси (СЕ = 0,71 D). Точки Oi и Oi - центры больших дуг овала, а точки Оз и 04 - центры малых дуг. Точки 1, 2, 3, 4 - точки сопряжения дуг (|рис 9.7i, б).

Н
б

а рис 9-8 показан графический способ определения большой и малой осей изометрического эллипса. Для определения малой оси эллипса соединяем точки 1 и 2. Отрезок 1 - 2 - малая ось эллипса. Из точек 1 и 2, как из центров, описываем дуги радиусом 1 - 2 до их взаимного пересечения. Отрезок 3 - 4 - большая ось эллипса.


Рис.9.9

118

9.4.2. Окружность в прямоугольной диметрии

В прямоугольной диметрической проекции так же, как в прямоугольной изометрии, малые оси всех трех эллипсов расположены по направлению той аксонометрической оси, которая отсутствует в плоскости, содержащей эллипс.

На рис.9.9 показаны эллипсы, принадлежащие отдельнмм координатным плоскостям, и указаны размеры их осей. У эллипса, расположенного в плоскости x'0'z', большая ось равна 1,06 D., малая - 0,94 D.

Эллипсы, принадлежащие координатным плоскостям xОy и z'Oy' по величине и форме одинаковы. Большие оси этих эллипсов равны 1,06 D, малые - 0,35 D.

На риc.9.9 дано построение диметрического овала для окружности диаметра D, расположенной в плоскости x'Oz

Рис 9.9

Проводят оси диметрической проекции xyz, затем через точку О проводят прямую, перпендикулярную к оси у', и на ней откладывают большую ось эллипса АВ. Малую ось эллипса CD откладывают на оси у! Отрезки ОМ = ON = OK = ОЕ равны радиусу данной окружности. Точки М, N, К и Е будут точками сопряжения дуг овала. Точки Oi, Oi, Оз и 04 будут центрами дуг радиусов окружностей, из которых состоит овал.

На рис.9.10 приведено построение диметрических овалов, заменяющих эллипсы, для окружностей, расположенных в плоскостях Н и W, Эти овалы одинаковы по форме и величине. Малая ось имеет направление той аксонометрической оси, которая отсутствует в плоскости, содержащей эллипс, большая ось к ней перпендикулярна.

<предыдущая страница | следующая страница>